Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ





Введение

 

Долгое время человечество не имело в своем распоряжении никаких методов расчета сооружений. Несмотря на это, удавалось возводить грандиозные и совершенные в конструктивном отношении памятники архитектуры. Это зависело от особого таланта зодчих, которые интуитивно и безошибочно находили нужные размеры элементов различных конструкций. Успехи механики, начиная с работ Г. Галилея, создали основу для разработки расчетов на прочность. Постепенно методы расчета стали все более удовлетворять требованиям времени.

Строительная механика как наука выделилась из общей механики во второй половине XIX столетия. Главным объектами исследования стали стержневые конструкции, в частности фермы. Для статически определимых ферм были предложены остроумные способы расчета. Основными из них стали графические методы, многие из которых сохранили свое значение и в настоящее время.

Одновременно с расчетом статически определимых конструкций развивались методы расчета статически неопределимых систем. Еще в 1857 г. Б.П. Клапейроном было предложено уравнение трех моментов для расчета неразрезных балок. В 1864 г. Дж. К. Максвеллом и в 1874 г. О. Мором была найдена формула для определения перемещений в упругих системах по заданным внутренним силам, дававшая возможность расчета сложных статически неопределимых систем.

В классических разделах строительной механики рассматриваются почти исключительно задачи, описываемые линейными уравнениями. В частности, для связи между внутренними силами и деформациями используется линейный закон Гука. В настоящее время развитие строительной механики идет, с одной стороны, по пути разработки все более совершенных вычислительных методов, ориентированных на применение компьютерных технологий, с другой – по пути уточнения расчетных схем и исходных гипотез, положенных в основу расчета элементов сооружений.

До настоящего времени не существует точного определения понятия сооружения. Вероятно многие, не задумываясь, назовут здания с фундаментами, стропильные и мостовые фермы, опоры линий электропередач, резервуары для жидкостей и т.п. сооружениями, и, пожалуй, мало, кто решится назвать сооружениями каркасы железнодорожных вагонов, кузова автомобилей или корпуса самолетов. Тем не менее, в курсе строительной механики и в частности в статике сооружений естественно речь идет о сооружениях – о способах их образования и расчете.

Условимся под сооружением подразумевать совокупность твердых тел (элементов), неподвижно соединенных между собой.

К любому сооружению предъявляются следующие требования:

1. Неподвижность относительно основания и неизменяемость приданной геометрической формы в течение всего срока эксплуатации.

2. Прочность, жесткость и устойчивость. Прочность и устойчивость гарантируют безопасность эксплуатации сооружения, а достаточная жесткость ограничивает деформацию его в таких пределах, которые не препятствуют нормальным условиям эксплуатации.



3. Экономичность. Экономичность сооружения определяется наименьшими затратами средств на материалы и возведение сооружения.

Чтобы удовлетворять этим требованиям, надо уметь рассчитывать сооружение.

Строительная механика – наука, изучающая расчет сооружений на прочность, жесткость, устойчивость, долговечность и надежность независимо от метода расчета, свойств материала (линейно и нелинейно упругий, неупругий) и от характера нагрузки (статическая, динамическая). Современные базовые учебники по строительной механике посвящены подробному изложению теории.

Данное обстоятельство усложняет процесс самостоятельного освоения предмета и служит основной причиной подготовки данного пособия, в котором основы теории курса строительной механики, в основном раздела, изучающего методы расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость при статическом действии нагрузки («Статика сооружений») сопровождаются подробными примерами расчетов конструкций.

Основное назначение пособия – облегчить студентам изучение предмета «Строительная механика», помочь овладеть методикой решения задач и приобрести в этом необходимый навык.

В пособие включены краткие сведения из теории, методические указания к решению задач и подробно решенные характерные примеры.

При работе с пособием необходимо учитывать следующее:

- все размеры на рисунках указаны в метрах;

- при отсутствии в тексте оговорки относительно осей проекций имеется в виду, что ось Х направлена по горизонтали вправо, а ось У – по вертикали вверх.

Предполагается, что параллельно с разбором теоретического материала пособия студенты самостоятельно выполняют индивидуальные задания, закрепляя тем самым полученные знания.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 050501.65 Профессиональное обучение (строительство, монтажные и ремонтно-строительные технологии).

 

 

 

 

ГЛАВА I

Пример 1.1.

Проверить геометрическую неизменяемость фермы, изображенной на рис.1.4.

 
 


 

Рис.1.4. Ферма

 

Решение

В системе, изображенной на рис.1.4, число дисков Д = 13 (стержни AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, BH, BG, CG, GD, DF).

Число простых шарниров (А, Е) равно двум.

Каждый из шарниров (C, F, H) соединяет по три стержня, поэтому кратен двум простым шарнирам.

Каждый из шарниров B и D кратен трем простым.

Итого: Ш = 1х2 + 2х3 + 3х2 + 4х1 = 18.

Жестких узлов в системе нет Ж = 0.

Число опорных стержней Соп = 2+1 = 3.

Следовательно, по формуле (1):

n = 3Д – 2Ш – 3Ж – Соп = 3·13 – 2· 18 – 3 = 0,необходимое условие геометрической неизменяемости выполнено.

Рассмотрим структуру образования системы. Треугольник АВН – элементарная неизменяемая система (примем его за основной). К нему шарнирно при помощи двух стержней BH и GH прикреплен узел G. К полученной неизменяемой системе диадой BC и CG присоединен узел С, далее диадой CD и GD прикреплен узел D, диадой DF и GF присоединен узел F, диадой DE и EF – узел Е.

Итак, рассматриваемая система является геометрически неизменяемой.

Статически определимой называется геометрически неизменяемая система, реакции связей и внутренние усилия в элементах которой можно определить, используя только уравнения равновесия статики.

Статически неопределимой называется система, реакции связей и внутренние усилия в элементах которой не могут быть определены только с помощью уравнений равновесия статики, а требуется составление дополнительных уравнений, характеризующих деформацию данной системы.

Степень статической неопределимостисистемы равна числу лишних связей, при отбрасывании которых система, оставаясь геометрически неизменяемой, становится статически определимой.

Формула для определения степени статической неопределимости имеет вид:

Л = 2Ш + 3Ж + Соп – 3Д(3).

 

3. Вопросы для самопроверки

1. Перечислите основные задачи строительной механики

2. Какие системы называют геометрически неизменяемыми?

3. Какие системы называют геометрически изменяемыми?

4. Какие системы называют мгновенно изменяемыми?

5. Дайте определение простого и сложного шарниров.

6. Какую систему называют диадой?

7. Что такое диск?

 

ГЛАВА II

РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ (ШАРНИРНЫХ) БАЛОК

Общие сведения

Шарнирнойбалкой называется геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из расположенных в определенной последовательности однопролетных консольных и простых балок, соединенных между собой шарнирами. Шарнирную балку можно образовать из неразрезной (рис. 2.1), введя в ее пролеты шарниры.

 

 
 

 

 


Рис.2.1. Неразрезная балка

Число промежуточных шарниров Ш должно быть равно числу опорных стержней шарнирной балки Соп без трех, т.е.

Ш = Соп – 3 (4).

Следовательно, для предложенной неразрезной балки необходимо ввести: Ш = 6 –3 = 3 - промежуточных шарнира.

Формула (4) позволяет определить максимальное число промежуточных шарниров, при котором шарнирная балка еще может быть геометрически неизменяемой и статически определимой.

Например, для балки, изображенной на рис.2.1., во всех пролетах, за исключением любого одного, может быть установлено по одному шарниру (рис.2.2,а). Эту шарнирную балку можно расчленить на основную балку 4 и так называемые передаточные балки 1,2 и 3 (рис.2.2, б).

Схема 2.2.б называется схемой взаимодействия элементов шарнирных балок или поэтажной схемой.

 
 

 


а)

 

2 1

4 3

                   
   
     
 
 
       
         
 
 


б)

Рис.2.2. а)Схема шарнирной балки

б)Поэтажная схема

Пример 2.1.

 

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки, изображенной на рис.2.4.а.

 

Решение

1. Проверка геометрической неизменяемости.

В этой системе число опорных стержней Соп = 5, число промежуточных шарниров равно 2. Согласно формуле (3) максимальное число промежуточных шарниров, при котором данная система еще может быть неизменяемой

Ш = Соп – 3 = 5 – 3 = 2.

Производя анализ геометрической структуры системы, приходим к выводу, что она геометрически неизменяемая, так как в ней пролеты с двумя шарнирами расположены между пролетами без шарниров.

2. Проверка статической определимости.

Так как рассматриваемая система геометрически неизменяемая и содержит число промежуточных шарниров, удовлетворяющее условию (3), она статически определима.

3. Составление схемы взаимдействия элементов шарнирной балки (рис. 2.4,б). Рассматриваемая балка состоит из двух основных балок AD и FI, одной подвесной DF. Подвесная балка расчитывается первой.

P P P

A B C D E F G H I

А

а) 1м 1м 1м 1м 1м 1м 1м 1м

 

 

       
 
   
 


A B C D E F G H I

б)

           
 
   
   
 
 

 


Эпюра Q

 

в)

0,5 Р 0,5 Р

0,25 Р

 
 


0,25Р

           
   
 
 
   
 


0,75Р 0,5 Р

 

Эпюра М

 

г) 0,5 Р L 0,5 Р L

 

 


0,25 Р L 0,25 Р L 0,25 Р L

 

Рис. 2.4.а) расчетная схема балки; б) поэтажная схема; в) эпюра Q; г) эпюра М

4. Расчет подвесной балки DF, на которую действует только заданная сила Р. Отдельно эта балка показана на рис.2.5.

А) Определение опорных реакций: в данном случае опорные реакции равны между собой Р/2, т.к. нагрузка симметрична относительно середины пролета;

Б) Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов производим в соответствии с правилами сопротивления материалов.

 
 


 

 

 

 

Рис. 2.5. Балка DF

 

5. Расчет основных балок AD и FI

 

А) Определение опорных реакций балки AD:

 

Σ Mа = Рх1 + Рх3 - Vc х 2 = 0 => Vc = 1,25 Р;

 

Σ Mc = Vа х 2 - Рх1 + Рх1 = 0 => Vа = 0,25 Р;

 

Аналогично: Vg = 1,25 Р; Vi = 0,25 Р.

 

Б) Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балках AD (рис.2.6. а) и FI (рис.2.6.б) производим в соответствии с правилами сопротивления материалов.

 

Р Р/2 Р/2 Р

A B C D F G H I

А

а) 1м 1м 1м 1м 1м 1м

Эп. Q Эп. Q

Р/2 Р/2

0,25 Р 0,25 Р

       
   
 
 


Эп. М Эп. М

0,5 Р L 0,5 Р L

               
   
     
 
       
 
 
 


0,25 Р L 0,25 Р L

 

Рис.2.6.а Балка AD Рис.2.6. Балка FI

 

 

6. Построение общей эпюры Q для всей шарнирной балки.

Эпюры поперечных сил, полученные для каждого отдельного элемента, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (рис. 2.4.в).

7. Построение общей для всей балки эпюры М (рис.2.4.г)

Эпюры моментов, полученные для каждого отдельного элемента, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе.

Вопросы для самопроверки

1. Какие балки называют шарнирными?

2. Дайте определение основной, подвесной и передаточной балок.

3. В чем состоит принцип построения поэтажных схем?

4. В чем заключается метод сечений для определения внутренних силовых факторов?

ГЛАВА III

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

Общие сведения

При перекрытии больших пролетов балки становятся экономически невыгодными, так как они должны иметь поперечные сечения значительных размеров. Для перекрытия таких пролетов можно применять арки.

Аркойназывается плоская распорная система, имеющая форму кривого стержня, обращенного выпуклостью в направлении, противоположном напрвлению действия основной нагрузки.

Распорнойназывается система, у которой вертикальная нагрузка вызывает наклонные опорные реакции.

Распором Нназывают горизонтальную составляющую наклонной реакции.

Опоры арки называются пятами, а наиболее высокую точка ее оси – ключом, или замком.

Трехшарнирнойназывается арка, состоящая из двух криволинейных стержней, соединенных между собой шарниром, и имеющая две шарнирно-неподвижных опоры (рис. 3.1.).

а) Р

 

Рис. 3.1. а) арка без затяжки

б)

Рис. 3.1 б) арка с затяжкой

Наличие распора требует устройства массивных опор. Если по каким-либо причинам устройство таких опор невозможно, то опорные шарниры арки связывают между собой стержнем – затяжкой, воспринимающей распор арки (рис.3.1. б). Одна из опор трехшарнирной арки с затяжкой делается шарнирно-подвижной, так как ее геометрическая неизменяемость в этом случае обеспечивается наличием затяжки.

При действии на арку внешней нагрузки в ее сечениях в общем случае возникают поперечные силы, изгибающие моменты и продольные силы (в частных случаях отдельные силовые факторы могут отсутствовать).

Трехшарнирная арка статически определима, так как для нахождения четырех неизвестных составляющих опорных реакций можно составить три уравнения равновесия для всей арки в целом и одно дополнительное уравнение, выражающее равенство нулю суммы моментов внешних сил и опорных реакций относительно промежуточного шарнира С для левой или правой частей арки.

 

Пример расчета 3.1.

Определить внутренние усилия и построить эпюры в арке, расчетная схема которой представлена на рис. 3.2.

Определение опорных реакций. Под действием заданной плоской системы сил

арка находится в равновесии. Нагрузки, приложенные к арке, вызывают реакции опор RА и RВ, каждую из которых всегда можно представить вертикальной VA (или VB ) и горизонтальной HA (или HB ) составляющими.

 
 
F1 = 5 кН F2 = 9 кН F3 = 6 кН F4 = 10 кН l = 24 м f = 8 м α1 = 3 м α2 = 9 м α3 = 14 м α4 = 18 м    
 
 


Рис. 3.2. Расчетная схема арки

Арка является распорной конструкцией, поэтому при действии на нее любой нагрузки в опорах возникают горизонтальные состав­ляющие опорных реакций, которые называются распором.

При действии на арку только вертикальной нагрузки горизонталь­ные составляющие обязательно должны быть равны между собой НА = НВ.

 
 

Для определения опорных реакций отбросим связи, наложенные на арку, а их действия заменим силами (реакциями связей) (рис.3.3.).

 

Рис.3.3. Расчетная схема арки

Так как арка находится в равновесии, то система сил, дейст­вующих на арку (внешних и реакций связей), является уравновешенной. Из условия равновесия плоской системы сил определим реак­ции опор. Вертикальные составляющие опорных реакций можно опре­делить из условий равенства нулю суммы моментов всех сил отно­сительно центров правого и левого опорных шарниров т.е.:

1) ∑МВ = 0

2) ∑МА = 0,

где ∑МВ – сумма моментов всех сил относительно точки В;

∑МА – сумма моментов всех сил относительно точки А.

1) VA · l – F1 · в1 – F2 · в2 – F3 · в3 – F4 · в4 = 0

2) VВ · l – F1 · α1 – F2 · а2 – F3 · а3 – F4 · а4 = 0

Из первого уравнения определим величину вертикальной реакции опоры А:

VА = 15 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции опоры В:

VВ = 15 кН

После вычисления вертикальных составляющих опорных реакций следует убедиться в правильности их определения, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении горизонталь­ных составляющих опорных реакций, и в вычислении внутренних усилий Nк, Qк и Мк во всех сечениях арки.

Для правильности проверки полученных результатов рекомендует­ся составить уравнение равновесия, которое не использовалось при определении вертикальных составляющих опорных реакций. Так, например, если вертикальные опорные реакции определены вер­но, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.:

∑Fy = 0

VА + VВ – F1 – F2 – F3 – F4 = 15 + 15 – 5 – 9 – 6 – 10 = 0.

Результат проверки свидетельствует о том, что вертикальные составляющие опорных реакций определены верно.

Если рассматривать арку в целом, то действующих уравнений статики недостаточно для определения горизонтальных составляющих опорных реакции, т.е.:

∑Fx = 0 НА – НВ = 0 НА = НВ.

Но если рассмотреть каждую часть в отдельности, то будем иметь шесть уравнений равновесия.

Из курса теоретической механики известно, что если вся система находится в равновесии, то любая ее часть должна находиться в равновесии. Рассечем арку по замковому шарниру «С» и рассмотрим равновесие одной части арки. Целесообразнее рассматривать равновесие той части арки, на которую действует меньше сил.

 
 

В нашем случае безразлично, какую часть арки рассматри­вать, так как на ту и другую часть действуют по две сосредоточен­ных внешних силы и по две составляющих опорных реакций.

Рис. 3.4. Часть арки АС

Рассматриваем равновесие части арки АС. Отбрасывая правую полуарку ВС, дейст­вие ее на левую полуарку заменяем усилиями Vc и Нс, возникающими в шарнире «С» (рис. 3.4.). Составляем уравнение момен­тов всех сил, действующих на левую полуарку относи­тельно точки «С» и приравня­ем его нулю, т.е.:

НА = НВ = Н = 18 кН

Чтобы убедиться в правильности определения горизонтальных составляющих опорных реакций, нужно рассмотреть равновесие, напри­мер, правой (относительно шарнира С) части арки. Из уравнения равновесия получаем:

–15 · 12 + 18 · 6 + 6(12 – 10) + 10(12 – 6) = 0

Вывод: горизонтальные составляющие опорных реакций определены верно.

Определение внутренних усилий М, Q и N и построение эпюр

Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо вычислить значения усилий в характерных усилиях арки, для примера характерными сечениями являются опорные и промежуточные шарниры арки и точки приложения сосредоточенных сил.

Точность построения эпюр усилий и точность расчёта зависит от количества сечений арки, в которых определяются уси­лия. Чем больше сечений, тем точнее расчет. Если характерных се­чений недостаточно, то нужно определить дополнительные сечения. Для этого целесообразно весь пролет арки разделить на равные части. Из полученных точек деления пролета восстановить перпендикуляры до пересечения с осью арки. Полученные точки на оси арки и будут являться дополнительными точками (сечениями). Они могут совпадать с характерными сечениями.

 

 
 

Рис. 3.5. Положение сечений арки

В нашем примере весь пролет арки разделим на части, равные 3 м, полученные сечения арки обозначим цифрами 1, 2, 3,.. и т.д. Положение сечений арки определяется координатами Х и У относительно начала осей координат (рис. 3.5.).

Координаты «X» всех сечений арки известны, они получены в результате деления горизонтальной проекции оси арки. В то время, как координаты «У» всех сечений неизвестны, их нужно определить. Так как ось арки очерчена по квадратной параболе, а уравнение квадратной параболы:

(8)

- тo, подставляя значения «Х» для каждого сечения в данное уравнение, можно определить значения «У» для каждого сечения. Например, для произвольного сечения «К»:

(9)

Построение эпюр следует начинать с эпюры изг









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.