Производная обратной функции

Пусть дана функция , задающая зависимость y от x. Обратноеотображение g, задающее зависимость x от y, называется обратной функцией по отношению к функции f.

Для того, чтобы из функции получить обратную функцию, необходимо:

1. разрешить уравнение относительно x, т.е. выразить х через у;

2. поменять переменные x и y местами.

Графики взаимно обратных функций f и g будут симметричны относительно прямой .

Элементарные функции	Обратные функции

Теорема Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на интервале (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда обратная функция g дифференцируема в точке и ее производная равна , т.е.

Например, показательная функция является обратной функцией по отношению к логарифмической, тогда:

Дифференцирование сложных функций

Функция называется сложной, если её аргумент сам является функцией некоторой переменной: y = f (u(x)).

Переменную x в этом случае называют независимой переменной, переменную u – промежуточной переменной.

Элементарные функции	Сложные функции

Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной данной функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной:

Найти производную функции:

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от первой производной. Обозначается

Производной n-порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Например,

Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными.

Например, для функции частные производные первого порядка будут равны:

Исследование функций с помощью производных

Возрастание и убывание функции

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (а;b), если на этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции:

если , то

Функция y=f(x) называется убывающей на интервале (а;b), если на этом интервале большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции:

если , то

Интервалы, в которых функция или только убывает или только возрастает, называют интервалами монотонности.

Определить интервалы монотонности функции, заданной графически:

при

при

Теорема (признак возрастания функции ) Дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на интервале тогда и только тогда, когда её первая производная положительна во всех точках интервала.

Дано: на [a; b]

Доказать:

Доказательство:

По условию y =f(x) возрастает на (a;b), тогда по определению для любых (a;b), если , то ; значит и ,следовательно:

.

Обратное утверждение доказывается аналогично

Теорема (признак убывания функции) Дифференцируемая функция y = f(x) убывает на интервале тогда и только тогда, когда её первая производная отрицательна во всех точках интервала.

Найти интервалы монотонности функции

Найдем производную данной функции:

Найдем интервалы возрастания функции из неравенства:

Максимум и минимум функции

Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшее значение, называют точкой максимума.

Значение аргумента, при котором функция имеет наименьшее значение, называют точкой минимума.

Точка максимума функции является граничной точкой перехода функции от возрастания к убыванию, точка минимума функции является граничной точкой перехода от убывания к возрастанию.

Функция y=f(x) имеет (локальный) максимум в точке , если для всех x, достаточно близких к выполняется неравенство

Функция y=f(x) имеет (локальный) минимум в точке , если для всех х, достаточно близких к выполняется неравенство

Максимальное и минимальное значения функции носят общее название экстремумов, а точки, в которых они достигаются, называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие существования экстремума) Пусть функция определена на интервале и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке . Тогда, если в точке существует производная этой функции, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство:

Пусть в точке x₀ функция имеет наибольшее значение, тогда для любого выполняется неравенство: .

для любой точки

Если x > x₀ , то , т.е.

Если x < x₀ , то , т.е.

Т.к. существует , то , что возможно лишь в случае их равенства нулю, следовательно, .

Следствие:

Если в точке дифференцируемая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, то в точке касательная к графику этой функции параллельна оси Оx.

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называются критическими – это возможные точки экстремума.

Заметим, что, поскольку равенство нулю первой производной является лишь необходимым условием экстремума, нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума.

Теорема (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x_0. Если при переходе через точку x₀ слева направо первая производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция y = f(x) имеет максимум (минимум). Если первая производная не меняет знака, то данная функция не имеет экстремума в точке x₀.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: