Выбор производственной технологии. Понятие о замещении ресурса

Перед каждым производителем стоит проблема выбора: как именно произвести ту или иную продукцию, какие ресурсы и в каком количестве использовать. Последнее зависит не только от технологии, но и от стоимости ресурсов. Таким образом, эта проблема имеет два аспекта: технический и экономический.

Остановимся на первом из них. Предположим, что производственный процесс описывается производственной функцией с двумя ресурсами (например, труд и капитал), остальные факторы производства фиксируем.

Предположим также, что объем производства представляет постоянную величину– Y₀. При заданной технологии один и тот же выпуск продукции может быть обеспечен различным сочетанием этих факторов, т.е. либо с большим привлечением капитала, либо с большим привлечением труда, т.е. эти факторы являются взаимозаменяемыми.

Определение: совокупность таких сочетаний ресурсов (точек в пространстве ресурсов), при которой может быть произведено определенное количество продукта Y₀. называется изоквантой и обозначается:

(3.1)

Можно дать такое определение изокванты (графическое):

Рассмотрим плоскость ресурсов X₁OX₂. Если соединить точки плоскости обеспечивающие один и тот же выпуск продукта, то получим линию называемую изоквантой. (рисунок 4.1)

При заданной технологии выпуск продукции в точке A обеспечивается большим применением капитала, а в точке С - за счет большого привлечения труда.

Если изокванта непрерывна, то число возможных комбинаций ресурсов бесконечно, что обеспечивает чрезвычайную гибкость принимаемых фирмой решений.

Свойства изоквант

1. Для производственной функции, удовлетворяющих свойству 1, изокванты не пересекаются с осями координат.

Если предположить, что изокванта пересекается с осями, то возможен выпуск продукта при отсутствии какого-либо ресурса.

2. Изокванты не пересекаются друг с другом.

Предположим, что изокванты пересекаются в точках A и B.

Здесь Y₁ <Y_2. Это означает,что в точках A и B для производства меньшего количества продукта Y₁ требуется столько же ресурсов, что и для производства большего количества Y₂.Очевидно, что такие технологии не эффективны, а проблема выбора оптимального сочетания ресурсов может быть рассмотрена лишь в пределах зоны технического замещения, т. е. в пределах кривой AB, где изокванты не пересекаются

3. Изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. тангенс угла наклона касательной к любой точке изокванты меньше нуля.

Предположим, что изокванта имеет положительный наклон.

Это означает, что одно и тоже количество продукта может быть произведено при затратах ресурсов ,причем как , так и ,а такая технология не имеет смысла.

4. Большему выпуску продукции соответствует изокванта более удаленная от начала координат.

Как записать уравнение изокванты?

Если Y=F (X_1,X₂)– уравнение производственной функции, то, для того чтобы получить уравнение изокванты, необходимо фиксировать выпуск продукции Y=Y₀:

Y₀ =F (X_1,X₂)–уравнение изокванты. Для того, чтобы записать его в явном виде необходимо выразить из этого уравнения переменную X₂ в зависимости от X₁ (или наоборот): . Эта функция имеет следующий смысл: это количество фактора X₂, которое необходимо для получения заданного количества продукта Y₀ в зависимости от использования фактора X_1.

Предельная норма замещения.

Для производственных функций, допускающих замещение ресурсов вводится понятие предельной нормы замещения

Пусть М₁(X₁,X₂)–некоторая произвольная точка в плоскости ресурсов, лежащая на изокванте Q(Y₀),т.е.

Дадим приращение ресурсам (DX₁ DX₂) и рассмотрим точку на изокванте M₂(X₁+DX₁,X₂+DX₂). В этой точке F(X₁+DX₁,X₂+DX₂)=Y₀

Таким образом, dF= F(X₁+DX₁,X₂+DX₂)- F(X₁ ,X₂)=0 (3.2)

В то же время левую часть равенства (3.2) можно представить как:

dF= (разложение дифференциала),

следовательно, =0 (3.3)

Из равенства (3.3) получаем: (3.4)

Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение (3.4) Величину g₂₁ называют предельной нормой замещения второго ресурса первым. Она равняется частному от деления предельных производительностей ресурсов со знаком минус. Предельная норма замещения показывает, сколько единиц второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса на единицу. Знак минус можно интерпретировать следующим образом: при уменьшении использования одного ресурса количество другого должно быть увеличено.

Предельная норма замещения в какой–либо точке изокванты совпадает по величине с тангенсом угла наклона касательной к изокванте в этой точке:

(смотри рисунок 3.5). Угол j тупой–тангенс его отрицательный. Угол j меняется при движении вдоль изокванты, а, следовательно, меняется и величина предельной нормы замещения, т.е. каждой точке изокванты соответствует своя предельная норма замещения.

Проследим на условном примере, как меняется величина g при движении вдоль изокванты. Обратимся к рис.3.6.

фактор X1 (Труд)	g21(норма замещения капитала трудом)
0,5–2
2–4
4-6

Очевидно, что при увеличении затрат фактора X₁(труда) норма замещения второго фактора (капитала) трудом уменьшается. Это свидетельствует о том, что эффективность использования любого ресурса ограничена. По мере замены ресурса X₂(капитала) ресурсом X₁₍трудом) отдача последнего(его производительность) снижается, т.е. добавление к каждой следующей единицы труда приводит к меньшему высвобождению капитала. Аналогично происходит и при обратной замене. Из соотношения: (3.4) следует также, что функция монотонно убывающая.. Это свойство не определяется конкретным видом функции, а присуще всем производственным функциям с двумя ресурсами.

Для характеристики динамики изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты вводится понятие эластичности замещения ресурсов:

(3.5)

Эластичность замещения имеет следующий экономический смысл: она приближённо показывает на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы предельная норма замещения изменилась на один процент.

Эластичность замещения может быть представлена в более удобной форме:

Существуют производственные функции с постоянной и переменной эластичностью замещения.

Постоянство эластичности замещения ресурсов производственной функции позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения ресурсов в целом, а не при каком–то конкретном соотношении ресурсов, как это возможно с помощью предельной нормы замещения. Чем больше величина эластичности замещения, тем в более широких пределах ресурсы могут замещать друг друга.

Если ресурсы используются независимо, а их норма замещения постоянна и не зависит от объёмов использования ресурсов, то полагают, что эластичность замещения равна бесконечности ().

Для производственных функций, в которых замещение ресурсов невозможно полагают, что эластичность замещения равна нулю(

На рисунке 4.7 изображены изокванты с различной эластичностью замещения

0 < s₁<s₂<s₃<¥

Если s®¥, изокванта приближается к отрезку АС, при стремленииs®0, изокванта приближается к линии АВС. Эти предельные изокванты соответствуют производственным функциям с бесконечной и нулевой эластичностями замещения. Нулевая эластичность означает, что замещение между ресурсами отсутствует, а бесконечно большая–что каждый из ресурсов используется независимо.

Изоклиналь

Определение: совокупность изоквант называется картой изоквант.

Теория фирмы

Равновесие производителя

До сих пор мы рассматривали лишь технологический аспект производства продукции, рассмотрим экономический, ведя цены на ресурсы производства

Рассмотрим ПФ с двумя факторами производства F1 и F2. Пусть цена факторов: (p1,p2). Производитель располагает определенными средствами (определёнными бюджетом) B₀, который он использует на покупку факторов производства. Если производитель покупает Х₁ фактора F1 и Х₂ фактора F2, то должно выполнятся условие:

(4.1),

Т.е. производитель не может истратить на покупку ресурсов больше, чем у него есть. Это ограничение определяет бюджетное множество производителя.

Каждое предприятие стремится получить наибольшую массу прибыли, которая равна разности между ценой произведенного продукта и издержками производства. Обозначим массу прибыли R = pY – ( ), где p - цена продукта. Т.к. бюджет В фиксирован, максимум прибыли достигается при максимуме продукта. Задачу, стоящую перед предприятием, можно сформулировать следующим образом: найти максимум производственной функции при заданных ценах факторов производства и бюджете.

Целевая функция: max.

Ограничения:

. В тоже время согласно 2-у свойству производственных функций: выпуск продукции увеличивается при увеличении объема используемых факторов. Поэтому для получения максимума выпуска бюджет производителя должен быть израсходован полностью (не останется возможности дозакупки ресурсов), т. е. бюджетное ограничение при определении максимума выпуска продукции должно выполняться как равенство:

Это уравнение прямой представляет комбинацию ресурсов, использование которых даёт одинаковые затраты, а прямая, соответствующая этому уравнению называется прямой равных издержек или изокостой.

Рост бюджета или снижение цен на ресурсы сдвигает изокосту вправо в плоскости затрат ресурсов. (Рисунок 4.1)

Пусть технология производства определяется некоторой изоквантой Q(Y₀), а ограничение по бюджету задается условием (4.1). Нарисуем в плоскости ресурсов соответствующие изокванту и изокосту (рис.4.2).

Точки пересечения изокванты и изокосты A и B определяют возможные варианты технологии (варианты использования ресурсов) в рамках имеющегося бюджета. Но при данном бюджете возможен и больший выпуск продукции, чем Y₀, при этом область возможного изменения технологии сужается. Максимальный выпуск будет в точке касания изокосты и изокванты, в которой будет единственная оптимальная технология. Точка максимального выпуска определяет равновесие производителя.

В точке касания T изокоста и изокванта имеют одинаковый наклон. Так как тангенс угла наклона касательной к изокванте равен предельной норме замещения ресурсов, справедливо следующее соотношение:

(4.2)

Таким образом, предельная норма замещения ресурсов в точке максимального выпуска при данном бюджете равняется отношению цен на ресурсы.

Задача оптимального поведения производителя может быть сформулирована следующим образом:

Найти точку оптимального выпуска , удовлетворяющего ограничениям:

(4.3)

и обращающего функцию выпуска в максимум.

Такие задачи называют задачами условной оптимизации. Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные удовлетворяют условию (ограничению) (4.2).

Если функция линейна то сформулированная задача является задачей линейного программирования и решается соответствующими методами. Если функция не линейна, то задача может быть решена сведением к задаче безусловной оптимизации специально построенной функции Лагранжа: , где

Функция Лагранжа L(X1, X2,l) представляет собой сумму целевой функции и функции ограничения (4.2), умноженного на новую независимую переменную l (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени.

Если функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным , то необходимое и достаточное условие экстремума представляет равенство нулю частных производных по переменным:

(4.4)

Для нашей задачи эти условия можно записать следующим образом:

(4.5)

Второе соотношение системы (4.5 – это бюджетное ограничение. Из первого соотношения находим:

. (4.6)

Это выражение называют условием равновесия предприятия на рынке факторов производства.

Проанализируем экономический смысл величины . Здесь – предельная производительность единицы i- го фактора производства. Но тогда есть предельная производительность такого количества i -го фактора производства, которое можно купить за единицу денег, напр., за 1 руб. Следовательно, величина отражает эффективность вложения дополнительного рубля в закупку i -го фактора. Ясно, что закупленный набор факторов производства оптимален тогда и только тогда, когда эффективности вложения дополнительного рубля во все факторы равны между собой. Если это не так, то можно повысить производительность набора факторов, сократив закупки одних факторов и увеличив закупки других. Покажем это.

Выделим факторы k и l так, что > . Тогда, сократив закупки i -го фактора на 1 руб. и затратив высвободившийся рубль на закупку k -го фактора, можно увеличить производительность всего набора. Следовательно, до такого перераспределения набор не был оптимальным.

Выражение равновесия фирмы на рынке факторов производства есть полный аналог второго закона Госсена в теории предельной полезности. В теории предельной производительности этот закон можно сформулировать следующим образом: для оптимального набора факторов производства выполняется условие – предельные эффективности вложения единицы денег во все факторы производства равны между собой.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

· в точке оптимального выпуска цены пропорциональным производительностям ресурсов: ;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению цен:

, (4.7)

· предельная производительность, приходящаяся на расходуемую денежную единицу, должна быть одинаковой для всех покупаемых товаров:

, Здесь l есть предельная эффективность вложения денег в любой из факторов производства.

Пример

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: