Развитие логического мышления в процессе освоения элементов математической логики в рамках курса математики старших классов

Уже к 8-му классу учащиеся получают достаточно большой багаж знаний и умений, которые можно отнести к логике. Это и применение законов логики в диспутах и спорах, и доказательства теорем, и умение делать выводы на основе имеющихся предпосылок. Но применение этих знаний скорее интуитивное, нежели осознанное и доказательное. Хотя развитие логического мышления входит в состав основных обучающих задач, однако очень редко ученик самостоятельно понимает, в каких случаях он применяет или должен применять полученные умения. Поэтому накопленный багаж знаний требует систематизации, т.е. нужно «разложить по полочкам» этот багаж, вывести некоторые общие закономерности и правила, чтобы вновь поступающая информация не терялась в недрах памяти, а попадала на подготовленную и удобренную почву.

Термин "логическая составляющая школьного курса математики" был введен в методику преподавания математики сравнительно недавно (Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская и др.) в связи с постановкой задачи логической подготовки учащихся. Он используется для обозначения совокупности логических знаний, входящих в содержание математического образования.

В целом, проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы О.В. Алексеевой, М.А. Артамонова, В.Г.Болтянского, Б.Ф. Высокого, М.Е. Драбкиной, В.Г. Ежковой, В.И. Игошина, Л.А. Калужнина, А.Н. Капиносова, Т.А. Кондрашенковой, И.Л. Никольской, Ф.Ф. Притуло, А.А. Столяра, А.И. Фетисова и др. Среди всех их подходов к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности можно выделить три основных [s, c.3]:

1. Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета (А.Д. Гетманова, К.Я. Хабибуллин).

2. Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики (О.В. Алексеева, В.Г. Ежкова, Т.А. Кондрашенкова).

3. Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике (И.Л. Никольская, A.A. Столяр).

Проблема целенаправленной логической подготовки в связи с изучением математики давно обсуждается в методико-математической литературе, на различных конференциях и съездах по математическому образованию. Вопрос о необходимости усиления внимания к элементам логики в школьном курсе математики, и прежде всего в геометрии, поднимался на 1-2 Всероссийских съездах преподавателей математики (1911 г., 1913 г.). Так, в своем докладе «Начала логики в курсе школьной геометрии» С.А.Неаполитанский стремился показать необходимость введения в школьный курс математики знакомства с началами логики как небольшого пропедевтического курса к изучению дедуктивной геометрии. Программа школьной геометрии, по его мнению, должна состоять из трех частей: наглядная геометрия, элементы логики как введение в дедуктивную геометрию, дедуктивная геометрия [p].

В 40-50 гг. существовало два основных подхода к решению проблемы целенаправленной логической подготовки учащихся. Первый из них связан с включением курса логики в число обязательных предметов, изучаемых в средней школе. Данная попытка восполнить пробел в логическом воспитании учащихся введением логики в качестве специального предмета, по мнению А.А.Столяра, не увенчалась успехом. «Нельзя изучать логику в школе в отрыве от ее применения, особенно в отрыве от математики, где она широко используется». "Бесплодность" изучения логики как отдельного предмета отмечает И.Л.Никольская: "приобретаемые таким способом логические знания не становятся органической частью мышления учащихся, оставаясь чисто формальными... и поэтому неприемлемыми".

В 60-е гг. проблемой формирования и развития у школьников логических умений занимались М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.Д. Семушин, A.A. Столяр, А.И. Фетисов.

Однако большинство исследователей рассматривали логику только как средство повышения эффективности процесса обучения самой математике. Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ.

Этот период реформирования школьного математического образования (60-70 гг.) был связан с перестройкой содержания математических курсов на теоретико-множественной и логической основе. Как отмечают Н.Я. Виленкин и СИ. Шварцбурд, в учебниках того времени, «понятия математической логики «высказывания», «конъюнкция высказываний», «дизъюнкция высказываний», «высказывательная форма» вместе с основными понятиями теории множеств служат основой и средством введения понятий курса математики». Так, по мнению авторов проекта программы средней школы по математике 1967 года, привлечение понятий «множество», «элемент множества», «принадлежность» будет способствовать осмыслению понятия «число» и операций над числами на этапе систематизации; знакомство с понятием «высказывание» и связками «и» и «или» позволит достичь понимания учащимися таких тем, как «Решение уравнений», «Решение систем уравнений», «Решение систем неравенств»; кроме того, как отмечают В.А. Вышенский, Л.А. Калужнин, «только на основе элементарных математико-логических понятий можно достичь более или менее правильного понимания того, что представляют собой математические доказательства и какой смысл в математике имеют понятия «аксиома», «определение» и «теорема».

Пути реализации идей содержательной перестройки школьного курса математики обсуждались и на международном уровне. Так, проблеме обучения логике была посвящена работа XXIII Международного совещания учителей математики, которое состоялось в Кракове в августе 1972 года. Участники совещания обсуждали различные аспекты проблемы повышения логической грамотности учащихся средней школы, познакомились с конкретным опытом обучения школьников элементам логики, результатами педагогических исследования по данной проблеме. Из вопросов, которые обсуждались на совещании, отметим следующие: «Каким должно быть обучение логике - явным или неявным? Какова роль формализации в развитии математики и в обучении?» Большую дискуссию вызвала проблема соотношения опыта и логики. Очень часто в высказываниях звучала мысль о необходимости тщательного учета возможностей детей и их опыта, приобретаемого в повседневной жизни.

Решение поставленных задач осуществлялось в рамках конкретных методических исследований. Так, в ряде исследований (Т.А. Кондрашенкова, Е.П. Маланюк, И.Л. Никольская) предлагается явное рассмотрение тех или иных элементов логической составляющей математики, так как "элементы логики, заложенные в курсе математики и других дисциплин, без специального вычленения, акцентирования и целенаправленного изучения не усваиваются сколько-нибудь удовлетворительно учащимися, не становятся инструментом их мышления и почти не используются в процессе учения".

Общие вопросы отбора материала, организации и методики изучения математической логики на математическом материале были разработаны А.А. Столяром. Он подчеркивает, что "проблема введения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики - важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие учащихся" А.А. Столяр предлагает знакомить учащихся с элементами математической логики начиная с 7 класса, при этом он отмечает, что изучению элементов математической логики должно предшествовать формирование теоретико-множественных понятий. «Начала логики высказываний могут быть изложены доступно, на конкретном материале школьной математики, учащимся 14-15 лет... Элементарная же часть теории множеств,... по существу эквивалентная логике высказываний,... доступна уже учащимся начальных классов...».

Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно.

В настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной средней школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике.

В качестве самостоятельного объекта изучения логика вообще не входит в содержание курса математики средней школы. В этой ситуации основная нагрузка по привитию школьникам логической грамотности ложится на учителей. В помощь учителю математики существует ряд методик по организации логической подготовки школьников. Однако, как правило, предлагаемые методики ориентированы на формирование и развитие у школьников лишь отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений, и рассчитаны не на весь период обучения в школе, а на какую-то конкретную ступень.

Последние практики факультативного преподавания логики в школах школах (как в старших, так и в младших классах), далиположительные результаты. Например, в Москве, в школе № 356 преподают логику в течение приблизительно десяти лет на основе методических материалов, разработанных профессором МПГУ А.Д. Гетмановой. Директор школы А. Д. Алексеева на основании накопленного опыта утверждает [q]:

1) логика учит детей мыслить четко, лаконично, правильно;

2) логика помогает обогатить словарный запас детей, расширяет их кругозор, учит их правильно мыслить, делать обобщения, сравнения, выводы;

3) логика облегчает изучение многих школьных предметов (русского языка, математики, природоведения и др.);

4) задачи и логические упражнения вызывают у детей повышенный интерес, способствуют развитию интеллекта;

5) преподавание этой науки в школе надо начинать как можно раньше.

Таким образом, в практике современной школы не реализуются объективно существующие возможности для одновременного изучения курса математики и элементов логики. Элементы логики в качестве объекта изучения не входят в содержание курса математики средней школы, поэтому большинство действующих школьных учебников по математике не содержит теоретического материала из области логики и доля логических задач и упражнений в этих учебниках незначительна (в среднем 1,4 %). Более полно по сравнению с другими учебниками по математике идеи одновременно изучения математики и элементов логики отвечает учебник для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон (программа «Школа 2100»). В названном учебнике рассматриваются отдельные вопросы из области логики, и доля логических задач соответственно выше, чем в остальных учебниках по математике (8,1 %). Однако и в данном учебнике не рассматривается весь спектр вопросов из области логики, необходимый для успешного формирования у школьников логической грамотности. [s, c.8] В старших классах элементы логики присутствуют в действующих учебниках Н.Я. Виленкина и А.Г. Мордковича, однако математическая логика как отдельный объект изучения практически не представлен ни в одном из них

Среди дополнительного материала можно выделить следующие учебные пособия по математической логике:

¾ Гетманова А.Д. и др. Логика 10-11 классы. – М.,1995.

¾ Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. — М., 1987.

¾ Мельников А.Н. Сборник задач по логике. — Киев, 1990.

¾ Сборник упражнений по логике. — Минск, 1991.

¾ Уемов А.И. Задачи и упражнения по логике. — М., 1961.

Более полный список литературы можно найти в приложении 3.

Таким образом, математическая логика имеет большой потенциал для введения в курс математики старших классов, однако этот потенциал до сих пор не был реализован.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: