Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.





Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция
y(x) = y1(x) - y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения;
2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция
y(x) = y1(x) + y2(x) — решение неоднородного уравнения;
3) если y1(x), y2(x), ..., yn(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а (x) — произвольное решение неоднородного уравнения,
то для любых начальных значений
x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1
Выражение
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) +(x)
называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx),
где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs,
где Pr(x), Qr(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами
pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0.
Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
найти любое частное решение неоднородного уравнения (x);
записать выражение для общего решения
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + (x);

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

Дифференциальное уравнение вида (1)

где , f - известная функция, называется линейнымдифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

 

Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Геометрический смысл



Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

 

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.