Теорема умножения вероятностей.
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема умножения вероятностей.





Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло.

Р(А  В) = Р(А)  РА(В). (2.1)

Доказательство:

n – число всех исходов испытания.

m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

к – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.

Поэтому Р(А  В) = = = = P(A)  PA(B).

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(АВСD) = Р(А)· РА(В) ·РАВ(С) · РАВС(D), (2.2)

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 2. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени три пробоины?

Решение. Обозначим события: Аi - попадание в цель i-го стрелка (i=1,2,3); В – в мишени три пробоины. Очевидно, что В=А1А2А3, причем события А1, А2, А3 - независимы. По теореме умножения для независимых событий

Р(В) = Р(А1А2А3) = Р(А1) ·Р(А2) ·Р(А3) = 0,8·0,7·0,9 = 0,504.

Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется n раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:



1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно «успехом» или «неудачей»;

2) вероятность «успеха» в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний.

Теорема Бернулли.Если производится серия из n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражается формулой

Pn(m)=Cnmpmqn-m, где q=1-p – где вероятность неудачи.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Одно из возможных приближений даёт локальная теорема Муавра-Лапласа (ЛТМЛ).

ЛТМЛ. ◄Пусть случайная величина μn – число успехов в схеме Бернулли из n испытаний с вероятностью успеха в отдельном испытании p (0 < p < 1), q = 1 – p и величина , где m - целое число от 0 до n. Тогда при n→∞:

равномерно по всем m, для которых |xm|≤C<∞ при некотором C>0. ►

Возможно, формулировка становится ясна не сразу, тем не менее практический смысл теоремы прост: при больших значениях n вероятность наблюдать ровно m успехов можно приближённо рассчитывать по следующей формуле:

Если вас интересует вероятность того, что число успехов будет лежать в некоторых пределах – P(m1μnm2) – в рассчётах помогает интегральная теорема Муавра-Лапласа (ИТМЛ).

ИТМЛ. ◄ Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p в отдельном испытании, 0<p<1, q=1-p при n→∞:

равномерно по a, b; -∞ ≤ ab ≤ ∞. ►

 

Смысл: при больших значениях n вероятность P(m1μnm2) можно рассчитывать следующим образом:

Определение. С.в. X имеет стандартное нормальное распределение (обозначается X~N(0,1)), если её функция распределения задаётся следующим образом:

Соответственно, функция плотности для такой с.в. выглядит так:

Определение. С.в. X имеет нормальное распределение с параметрами μ и σ2 (обозначается X~N(μ; σ2)), если её функция распределения задаётся следующим образом:

Соответствующая функция плотности:

 

Т.о. стандартное нормальное распределение – частный случай нормального распределения с параметрами μ=1, σ2=1.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.