Кинематика поступательного и вращательного движения
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Кинематика поступательного и вращательного движения





1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X

,

где – некоторая функция времени.

2. Средняя скорость за промежуток времени Dt

<vx> = ,

где Dx = x2 - x1; x1 – положение точки в момент времени t1; x2– положение точки в момент t2;Dt = t2 - t1.

3. Мгновенная скорость

vx = .

4. Среднее ускорение

< ax > = .

5. Мгновенное ускорение

.

6. Уравнение движения точки при вращательном движении твёрдого тела

j = j(t),

где j – угловое положение точки в момент времени t.

7. Среднее значение угловой скорости

<w> = ,

где – угол поворота твёрдого тела за время .

8. Мгновенное значение угловой скорости

.

9. Угловая скорость при равномерном движении по окружности

w = 2pn,

где n – число оборотов в секунду.

10. Среднее значение углового ускорения

,

где – изменение угловой скорости за промежуток времени .

11. Мгновенное значение углового ускорения

.

12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности

v = wR,

at = bR,

an = w2R,

где v – линейная скорость точки (направлена по касательной к окружности), at – тангенциальное ускорение (направлено по касательной), an – нормальное ускорение (направлено к центру окружности), R – радиус окружности.

Полное ускорение

.

Примеры решения задач

 

Задача 1

Уравнение движения материальной точки вдоль оси Х имеет вид Х = A + Bt + Ct3, где A = 2 м; В = 1 м/с; С = 0,5 м/с3.

Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени 2с.

 

 

Дано: Решение:
X = A + Bt + Ct3 A = 2 м В = 1 м/с С = 0,5 м/с3 t = 2 c Координату точки найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени, x = ( 2 + 1 × 2 0,5 × 23 ) м = 0. Так как требуется найти скорость и ускорение в определенный момент времени (t = 2 c), то это значит, нужно определить мгновенные величины и ax.
x - ? v - ? a - ?

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени



vx = = B + 3Ct2 .

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени

ax = = 6Ct .

Произведя вычисления для момента времени t = 2 c, получим:

vx = ( 1 3 × 0,5 × 22 ) м/с = 5 м/с ,

аx = 6 ( 0,5 ) × 2 м/с2 = 6 м/с2 .

 

Задача 2

Диск радиусом 0,1 м, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорение 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска через две секунды после начала вращения.

 

 

Дано: Решение:
R = 0,1 м b = 0,5 рад/с2 t = 2с Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражаются формулами at = bR, (1) an = w2R, (2) где w угловая скорость тела, b его угловое ускорение, R – радиус диска.
аt - ? an - ? a = ?

В условии задано угловое ускорение, которое определяется выражением

b = . (3)

Следовательно, угловая скорость равна

w = w0+ bt, (4)

причем по условию начальная угловая скорость w0 = 0. Учитывая соотношения (2) и (4), получаем формулу для нормального ускорения

an = w2R = b2t2R.

В момент времени t = 2 с нормальное ускорение

an = b2t2R = 0,52 × 22 × 0,12 = 0,1 м/с2,

тангенциальное ускорение

аt = bR = 0,5 × 0,1 = 0,05 м/с2,

полное ускорение

м/с2

Динамика. Законы Ньютона

1. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью

= m

2. Второй закон Ньютона в общем случае

,

где – результирующая всех сил, приложенных к материальной точке.

3. Второй закон Ньютона в случае средней силы, действующей за время :

,

4. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть записан в виде:

.

5. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = - kx,

где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная деформация;

б) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих материальных точек; r – расстояние между материальными точками;

в) сила трения скольжения

F = fN,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30о под действием силы 7 кН. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью шоссе равен 0,1. Определить ускорение автомобиля.

 

Дано: Решение:
m = 1 т = 103 кг = кН = Н f = 0,1 На автомобиль действуют сила тяжести , сила нормальной реакции шоссе , сила тяги , сила трения . По условию задачи вектор направлен вверх по наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
a = ?

.

Спроецируем обе части этого уравнения на выбранные направления осей Х и У (см. рис. 1).

. (1)

. (2)

Из уравнения (2) находим .

Учитывая, что , запишем уравнение (1) в виде:

,

откуда

. (3)

Подставив в формулу (3) числовые значения, получим:

.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.