Динамика вращательного движения твёрдого тела
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Динамика вращательного движения твёрдого тела





1. Основной закон (основное уравнение) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси

,

где – результирующий момент всех внешних сил относительно оси вращения; – момент импульса (момент количества движения) твёрдого тела относительно оси вращения

,

где J – момент инерции твёрдого тела относительно той же оси вращения.

2. Основной закон динамики вращательного движения при J = const

,

где – угловое ускорение тела.

3. Основной закон динамики вращательного движения для среднего значения момента силы

,

где – изменение угловой скорости за промежуток времени .

 

 

4. Момент силы относительно оси вращения:

,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы F); – угол между направлением действия силы и радиус-вектором , проведённым от оси вращения к точке приложения силы.

5. Момент инерции материальной точки относительно заданной оси:

,

где m – масса материальной точки; r – расстояние её до оси вращения.

6. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр симметрии:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра)

;

в) диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска

;

г) шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара

.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения . Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.



Дано: Решение:
R = 0,5 м F = 100 Н Мтр= = 16 рад/с2 Для решения задачи используем основное уравнение динамики вращательного движения , (1) где М – результирующий момент внешних сил , (2)
m = ?

где FR – вращающий момент; Мтр – момент сил трения; – угловое ускорение;

(3)

момент инерции диска.

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и получим:

, (4)

откуда

. (5)

Проведём вычисления в формуле (5), подставив туда числовые значения. Получим:

кг.

 

Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела

1. Закон сохранения момента импульса в случае замкнутой системы ( – момент внешних сил равен нулю)

,

где – момент импульса тела с номером i, входящим в состав системы.

2. В случае системы из двух тел закон сохранения момента импульса запишется в виде

,

где , ; и – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; , ; и – те же величины после взаимодействия.

3. Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело,

где – угол поворота тела.

4. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

.

5. Кинетическая энергия вращающегося тела

.

6. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; – скорость центра инерции тела; – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

7. Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением

.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

Частота вращения маховика, момент инерции которого равен , составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за секунд. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения.

Дано: Решение:
об/мин = 4 об/с с Изменение кинетической энергии маховика равно работе сил трения: , т.е. , (1)
М = ?

где – угол поворота за промежуток времени t.

Из формулы (1) момент сил трения

. (2)

Для равнозамедленного движения маховика угол поворота :

, (3)

где – угловое ускорение.

По условию задачи тело останавливается через промежуток времени t, т.е.

,

откуда

, (4)

где .

 

Подставим выражение (4) в формулу (3), получим:

. (5)

После подстановки выражения для и в формулу (2) момент сил трения М имеем

, т.е.

. (6)

Проведём вычисления в формуле (6)

.

Задача 2

Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдёт ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Дано: Решение:
В системе человек–платформа сумма моментов сил тяжести и реакции опоры равна нулю. Тогда для решения задачи можно применить закон сохранения момента импульса: , (1) отсюда
– ?

, (2)

где

, (3)

. (4)

J1 – момент инерции системы человек–платформа в начальном состоянии,

J2 – в конечном состоянии.

Подставим выражения (3) и (4) в формулу (2) и получим:

.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.