|
Если кристалл состоит из одинаковых атомов, тоZ = r N A/(n m) 10. Параметр решетки, состоящей из одинаковых атомов a = (n m/r N A)1/3 Расстояние между соседними атомами в кубической решетке: а) в простой d = a; б) в гранецентрированной ; в) в объемноцентрированной . 11. Число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку: а) простая кубическая решетка n = 1; б) гранецентрированная кубическая решетка n = 4; в) объемноцентрированная кубическая решетка n = 2.
Примеры решения задач Задача 1 Определить параметр решетки и плотность кристалла кальция, если расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,393 нм. Решетка кубическая, гранецентрированная.
Подставляя в это выражение числовые значения, получим: а = 5,56 10-10 м. Плотность кристалла r = m n /(N A a 3) = .
Задача 2 Вычислить период идентичности l вдоль прямой [2 3 1] в решётке NaCl, если плотность кристалла равна 2,17 г/см3. Решётка гранецентрированная кубическая.
Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке . Пользуясь таблицей Менделеева, находим: A(Na) = 23, A(Cl) = 35. Следовательно, M(NaCl) = 58, откуда молярная масса NACl: .
Подставляя числа в формулу (1), получаем а = 5,62 10-10 м. Период идентичности кристалла вдоль прямой [231] l = a (n 12 + n 22 + n 32)1/2 = 10-10 (4 + 9 + 1)1/2 = 13,3 10-10 м
Задача 3 Написать индексы Миллера для плоскости, проходящей через узлы с индексами: [[010]], [[12 2 ]], [[132]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.
где h, k, l, q – целые числа. Подставляя в уравнение (1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений: k = q h + k – 2 l = q h + 3 k + 2 l =q Решая эту систему в целых числах, получаем: h = -6, k = 4, l = -1; q = 4, т.е. данная плоскость задается индексами: {(6 4 1);4}. Она отсекает на осях координат отрезки, равные x 0 = a 1 q/h = -2/3 a 1; y 0 = a 2 q/k = a 2; z 0 = -4 a 3, где аi (i = 1,2,3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и z в узловых точках.
Теплоемкость и теплопроводность кристаллов
1. Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость химически простых твердых тел при температурах, больших температуры Дебая QD: C m = 3 R, где R = 8,31 Дж/(моль ) универсальная газовая постоянная. Для химически сложных тел (состоящих их атомов различных химических элементов) – закон Неймана-Коппа: C m = 3 nR, где n – общее число частиц в химической формуле соединения. 2. Удельная теплоемкость: - для химически простых с = C m/m; - для химически сложных веществ . 3. Энергия фонона e связана с круговой частотой колебаний w соотно-шением , где = h /(2p) = . 4. Квазиимпульс фонона p = h /l, где h = 5. Скорость фонона (скорость звуковых волн в кристалле в пренебрежении дисперсией) = wl/(2p). 6. Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки) w D = (6p2 n)1/3 , где n = N/V – концентрация атомов в кристалле, n = N Ar/m, где r - плотность кристалла; m - молярная масса. 7. Температура Дебая: , где k – постоянная Больцмана, k = Дж/K. 8. Поток тепловой энергии Q, проходящий через поперечное сечение S стержня в единицу времени Q = -l(dT/dx)S, где l - теплопроводность; dT/dx – градиент температуры. l = l /3, где – групповая скорость фононов; l – средняя длина свободного пробега фононов между двумя последовательными столкновениями; – теплоемкость единицы объема. 9. Молярная теплоемкость кристаллической решетки при температуре T << : C m = 12p4 R (T / )3/5 = 234 R (T / )3.
Примеры решения задач Задача 1 Вычислить по классической теории теплоемкость кристалла бромида алюминия (AlBr3) объемом 200 см3. Плотность кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см3. Условие T > считать выполненным.
С m = n 3 R = 99,7 Дж/моль К. Теплоемкость всего кристалла C = C m m /m = C mr V /m = 12 R r V /m. (1) По таблице Менделеева находим: A(Al) = 27, A(Br) = 80, следовательно M(AlBr3) = 267, а m = 0,267 кг/моль. Подставляя в формулу (1) числа, получаем С = 225 Дж/K.
Задача 2 Вычислить длину волны фононов в свинце, соответствующую частоте w = 0,1w D, если плотность свинца 11,3 г/cм3, а молярная масса 207 г/моль.
где – средняя скорость распространения колебаний (скорость звука) в кристалле; n – концентрация атомов в кристалле, n = N Ar/m. (2) В пренебрежении дисперсией звука в кристалле: lF = 2p /w, или, согласно условию задачи, lF = 20p /w D. Окончательно, пользуясь формулами (1) и (2), получаем lF = 20p(6p2 N Ar/m)-1/3 (3) Подставляя в формулу (3) N A = 1023 и числовые данные из условия задачи, будем иметь: lF = 10-9 м.
Задача 3 Определить температуру Дебая для серебра, если известно, что для нагревания серебра массой 15 г от температуры 5 К до температуры 10 К надо затратить количество тепла 10-2 Дж. Условие T << считать выполненным.
С = C m m /m (2) Подставляя (2) в (1) и интегрируя по температуре от Т 1 до Т 2, получаем Q = (3p4 mR /5m 3) [ T 24 – T 14]. (3) Выразим из формулы (3) температуру Дебая: = ((3p4 mR /5m Q)[ T 24 – T 14])1/3. (4) Произведем вычисления по формуле (4), учтя, что у серебра молярная масса равна m = 0,108 кг/моль: = 210 K.
Электронный газ в металлах 1. Концентрация электронов dn (e), энергия которых заключена в интервале значений от Е до Е + dЕ: dn (Е) = (2 m *)3/2 (2p2 )-1 Е 1/2 ( + 1) -1, где m * и Е – эффективная масса и энергия электрона; m = EF – энергия Ферми. 2. При Т = 0 EF = ( /2 m *) (3p2 n) 2/3. 3. Средняя энергия электронов при Т = 0: < E > = 3/5
4. Температура Ферми TF = . 5. Температура вырождения Т в = 4/(9p) 1/3 TF = 1,313 TF .
Примеры решения задач Задача 1 Определить температуру вырождения для калия, если считать, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия r = 860 кг/м3.
где h = 10-34 Дж·с – постоянная Планка; k = 1,38 10-23 Дж/К – постоянная Больцмана; m = 10-31кг – масса электрона; n – концентрация квазисвободных электронов в металле. Согласно условию, n равно концентрации N атомов, которая определяется выражением: N = N Ar/m, (2) где N A – число Авогадро; r - плотность кристалла; m - молярная масса калия. По таблице Менделеева: m = 10-3 кг/моль. Полагая n = N и подставляя выражение (2) в формулу (1) с учетом приведенных выше числовых данных окончательно получаем Т В = 3,12 104 К.
Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|