Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобто

Доведення виконаємо за допомогою класичного означення ймовірності. Нехай

- число випадків, які сприяють появі події

- загальне число всіх можливих випадків. Тоді події

(а вони несумісні) сприяють

випадки, тому ймовірність

Зауваження. Коли безпосередній підрахунок ймовірностей неможливий, то виходять із того, що при великому числі випробувань відносні частоти стають близькими до ймовірності, а для відносних частот доведення виконується аналогічно викладеному вище.

При теоретико-множинному підході формула (1) приймається, як одна з аксіом.

Приклад 1. В ящику 15 однотипних деталей, 5 із них пофарбовані в синій колір, 7 – в зелений, і 3 деталі непофарбовані. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь пофарбована.

Розв’язання. Розглянемо можливі події. Подія

, якщо вибрана деталь синього кольору,

- зеленого, і

- деталь непофарбована. Поява пофарбованої деталі означає або появу події

, або події

. Ймовірність цих подій дорівнює відповідно

Рівність (1) узагальнюється і для

- попарно несумісних подій:

Наслідок. Якщо випадкові події утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

Дійсно, оскільки події

утворюють повну групу, то поява однієї із них є достовірною подією, тоді

Означення. Дві події називається протилежними, якщо вони несумісні і утворюють повну групу, позначаються

і .

Із формули (3) випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

Із (4) маємо: ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність початкової події

Прийнято позначати

, а для протилежної події

, тоді

Зауважимо, що при розв’язуванні задач часто буває легше обчислити ймовірність протилежної події

, ніж ймовірність прямої події

Приклад 2. робиться один вистріл по круговій мішені, яка складається з “яблука” і двох концентричних кілець. Ймовірності влучення при одному вистрілі в “яблуко” і кільця відповідно дорівнюють: 0,11; 0,24; 0,35. Знайти ймовірність промаху.

Розв’язання. Нехай подія

- промах, протилежна їй подія

= влучення, яка наступає внаслідок появи однієї з трьох несумісних подій:

- влучення в “яблуко”,

- влучення відповідно в друге і третє кільця, тобто

Задачі на теорему додавання ймовірностей несумісних подій

1. У грошово-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігрується 150 речових і 50 грошових виграшів. Знайти ймовірність виграшу (байдуже речового чи грошового) для власника одного лотерейного білета.

2. Ймовірність того, що стрілець при одному вистрілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,3; ймовірність вибити 8 або менше очок дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному вистрілі стрілець виб’є не менше 9 очок.

3. Учасники жеребкування виймають із скриньки жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри 5.

4. За статистичними даними ремонтної майстерні у середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця, 3 – із-за несправностей приводу, 2 – із-за несвоєчасної подачі заготовок. Решта зупинок припадають на інші причини. Знайти ймовірність зупинки станка за іншими причинами.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій

Означення 1. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, з’явилась чи не з’явилась подія В.

Наприклад, монета підкинута два рази. Ймовірність появи герба при другому киданні (подія А) не залежить від того з’являвся чи не з’являвся герб при першому киданні.

Означення 3. Добутком декількох подій називається подія, яка означає одночасну появу всіх цих подій.

Нехай

- залежні події, тобто ймовірність події

залежить від того, відбулася чи не відбулася подія

Означення. Умовною ймовірністю

називається ймовірність події

, обчислена за умови, що подія

вже наступила.

Приклад 1. В урні три білих і чотири чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. 1) Знайти ймовірність білої кульки (подія

) при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні була вийнята чорна кулька (подія

);

2) Знайти ймовірність чорної кульки (подія

) при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні була вийнята біла кулька (подія

Розв’язання. 1) За умовою задачі із урни спочатку виймається чорна кулька (відбулася подія

), це означає, що із 7 кульок (3 білих і 4 чорних) на 1 чорну кульку стало менше. Отже, ймовірність вибору білої кульки при другому випробуванні (подія

) дорівнює

2) Із 7 кульок (3 білих і 4 чорних) із урни спочатку вибирається біла кулька (відбулася подія

). В урні залишилось 6 кульок (2 білих і 4 чорних). Тепер ймовірніть вибору чорної кульки (подія

) за умови, що подія

відбулася, дорівнює

Нехай подія

може наступити за умови появи однієї із несумісних подій

, які утворюють повну групу, причому відомі ймовірності появи кожної з них

. Нехай також відомі ймовірності події

за умови появи кожної із подій

. Необхідно знайти ймовірність

появи події

Теорема. Ймовірність події

, яка може відбутися лише за умови появи однієї із несумісних подій

, які утворюють повну групу, обчислюється за фомулою:

Формула (1) називається формулою повної ймовірності.

Доведення. Ймовірність події

, яка може наступити, якщо з’явиться одна із несумісних подій

, тобто настання

означає здійснення однієї, байдуже якої із несумісних подій

, або ж

Тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:

а за теоремою множення ймовірностей залежних подій

Враховуючи (2) і останні співвідношення отримаємо формулу (1).

Події

по відношенню до події

називаються гіпотезами.

Приклад 1. На склад надходять однотипні деталі з трьох автоматів, причому перший автомат дає 20%, другий – 30%, третій – 50% всієї продукції за зміну. Серед продукції першого автомата може бути 0,2% браку, другого – 0,3%, третього – 0,1%. Знайти ймовірність, що навмання взята деталь буде бракованою.

Розв’язання. Позначимо через

події “деталь відповідно виготовлена на першому, другому і третьому автоматах”. Їх ймовірності

Подію “бракована деталь” позначимо через

. Згідно із змістом задачі відомі умовні ймовірності

Приклад 2. Один цар, якому надоїв його провісник із своїми не завжди правдивими віщуваннями, вирішив його казнити, але будучи справедливим, вирішив дати провіснику останній шанс. Йому велено було розкласти по двох урнах чотири кульки, із яких дві чорні і дві білі. Кат вибирає наугад одну із урн і з неї навмання виймає кульку, якщо кулька чорна – стратять, біла – помилують. Яким чином провісник росподілив кульки в урнах, щоб забезбечити собі максимальну ймовірність на спасіння.

Вважається, що вибір кожної з урн – рівноможливий:

. Умовна ймовірність появи білої кульки із першої урни

, для другої -

Нехай подія

- “вийняти навмання з будь якої урни білу кульку”, тоді

Отже, максимальний шанс на спасіння для просвісника -

1. У групі 20 плавців, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для плавця 0,9, для велосипедиста – 0,8 і для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність, що спортсмен, вибраний наугад, виконає кваліфікаційну норму.

2. Складальник отримує 3 коробки деталей виготовлених заводом №1, і 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена заводом №1, стандартна дорівнює 0,8, а заводом №2 – 0,9. Складальник наугад дістає деталь із наугад взятої коробки. Знайти ймовірність того, що деталь – стандартна.

3. У телевізійному ателье є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий наугад кінескоп витримає гарантійний термін служби.

4. В ящик, який містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а тоді наугад вийнята одна деталь. Знайти ймовірність того, що вийнята деталь стандартна, якщо рівноможливі всі можливі припущення про число стандартних деталей, які знаходяться в ящику напочатку.

Нехай подія

може наступити за умови появи однієї із несумісних подій

, які утворюють повну групу, тоді має місце формула (1) (див. 3. 7.). Припустимо, що подія

вже відбулася, необхідно знайти умовні ймовірності

здійснення подій

. За теоремою множення залежних подій (див. 3.5, формула (2)), наприклад, для гіпотези

маємо:

де

обчислюється за формулою повної ймовірності (див. 3.7. формула (1)). У загальному вигляді для

-тої гіпотези

запишемо:

Рівність (1) називається формулою перерахунку ймовірностей гіпотез або просто формулою Бейєса. Формула Бейєса показує, яку відносну частину складає ймовірність окремо взятого доданка у загальній сумі всіх

доданків, які складають значення повної ймовірності всіх

подій, тобто, якщо подія

вже відбулася, то ми знаходимо ймовірність того, що це могло статися завдяки появі конкретної події

Приклад 1. На склад поступають однотипні деталі із трьох автоматів, причому, за зміну 50% виробляє перший автомат, 30% - другий, і 20% - третій. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому автоматі 0,1%, на другому – 0,2%, на третьому – 0,05%. Взята навмання деталь виявилась бракованою. Знайти ймовірність, що бракована деталь виготоовлена 1) на першому автоматі; 2) на другому автоматі; 3) на третьому автоматі.

Розв’язання. Нехай подія

- виявлення бракованої деталі,

- події “деталь виготовлена відповідно на першому, другому, або на третьому автоматі”. Ймовірності цих подій за умовою задачі

;

, умовні ймовірності події

;

. Знайдемо повну ймовірність браку

Тепер за формулою Бейєса знаходимо ймовірність того, що бракована деталь виготовлена першим автоматом

Порівнюючи ймовірності отриманих гіпотез, ми бачимо, що більшої уваги щодо покращення загальної якості продукції вимагає другий автомат.

Приклад 2. На полюванні двоє мисливців, зробивши по одному пострілу, одним влученням застрелили ведмедя. Ймовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,8, для другого – 0,7. За шкуру ведмедя була виручена сума 570 умовних одиниць. У яких розмірах мисливці повинні розділити виручену суму?

Розв’язання. Нехай подія

- “ведмідь застрелений одним влученням”, події

влучення у ціль відповідно першим і другим мисливцями,

- їхні промахи. За умовою задачі ймовірності цих подій дорівнюють

Тепер виручену суму 570 умовних одиниць потрібно розділити пропорціонально числам

. Сума, яка належить першому мисливцю дорівнює

(ум. од.), другому -

(ум. од.)

1. При відхиленні від нормального режиму роботи автомата спрацьовує сигналізатор

із ймовірністю 0,8, а сигналізатор

спрацьовує із ймовірністю 1. Ймовірності того, що автомат обладнаний сигналізатором

або

відповідно дорівнюють 0,6 і 0,4. Поступив сигнал про розлад автомата. Знайти ймовірності: а) автомат обладнаний сингалізатором

; б) автомат обладнаний сигналізатором

2. Для участі у спортивних студентських відбіркових змаганнях виділено з І групи курсу – 4, з ІІ-ої – 6, із ІІІ-ої – 5студентів. Ймовірність того, що студент І-ої, ІІ-ої, ІІІ-ої групи попаде у збірну університету, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Наугад вибраний студент попав у збірну. Знайти ймовірності що це студент: а) з І-ї групи; б) з ІІ-ї групи; в) з ІІІ-ї групи.

1. За допомогою 6 карточок складено слово “карета”. Карточки перемішали. Знайти ймовірність того, що за допомогою цих карточок випадково можна скласти слово “ракета”.

2. В урні міститься 6 чорних і 5 білих куль. Навмання виймаються 5 куль. Знайти ймовірність того. Що серед них будуть:

3. Два стрільці, для яких ймовірності влучення у мішень відповідно 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Знайти ймовірність одного влучення в мішень.

4. Із повного набору карт доміно навмання вибирають 2 карти. Знайти ймовірність того, що другу карту можна приєднати до першої.

5. У ящику знаходяться 15 тенісних м’ячів, з яких 9 нових. Для першої гри навмання беруть 3 м’ячі, які після гри знову повертаються у ящик. Для другої гри теж буруть 3 м’ячі. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, взяті для другої гри, нові.

6. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній один виріб – бракований. Виріб взятий із І партії і перекладений у другу, після чого вибирається виріб із другої партії. Визначити ймовірність вибору бракованого виробу із другої партії.

7. В групі, де навчається 20 дівчат і 10 юнаків, була проведена контрольна робота. За заявами студентів до контрольної не підготувались 4 дівчини і 3 юнаки. Випадково взята зашифрована робота виявилась невиконаною. Знайти ймовірність того, що це була робота юнака.

8. На склад може поступити протягом години замовлення від кожного з 4-х цехів із ймовірностями: 0,4; 0,6; 0,7 і 0,8 відповідно. Знайти ймовірность того, що із трьох можливих замовлень, які можуть поступити протягом години, буде відсутнє замовлення із 4-го цеху (з причини складності його виконання).

9. Для здачі екзамена студентам необхідно підготувати 30 питань. Із 25 студентів 10 підготовили всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань, 2 – по 15. Визваний відповідає на поставлене питання. Знайти ймовірність того, що цей студент а) підготовив всі питання б) підготовив тільки половину питань.

10. Допускається, що серед 100 мікросхем може бути з однаковою ймовірністю 0, 1, 2, 3 бракованих мікросхем. Серед 10 взятих наугад мікросхем всі виявилися доброякісними. Яка ймовірність, що всі 100 мікросхем виявилися доброякісними.

11. В області 30 комерційних банків із них 12 знаходяться в обласному центрі. Міністерством фінансів для перевірки ліквідності (здатності своєчасно виконувати свої боргові забов’язання) випадково відібрані 6 ощадбанків області. Знайти ймовірність того, що серед відібранних банків виявляться: а) 4 банки із обласного центру; б) хоча б один банк із центру?

12. На митницю поступило 10 упаковок, і можливо дві із них з контрабандним товаром. Яку мінімальну кількість упаковок потрібно розкрити, щоб із ймовірністю не менше 90% виявити контрабанду?

13. В автомагазині 20 автомобілів, причому 15 із них імпортні. Знайти ймовірність того, що серед 8 проданих протягом тижня автомобілів не менше 3 виявляться вітчизняними, припускаючи, що ймовірність реалізації різних марок однакова.

14. На підприємстві працюють 6 економістів, із яких 3 — вищої кваліфікації, і 4 бухгалтери, один із яких головний. На курси підвищення кваліфікації потрібно відрядити двох економістів і двох бухгалтерів. Яка ймовірність того, що в цій групі не буде головного бухгалтера і економістів вищої кваліфікації, якшо кожний із спеціалістів має рівні можливості поїхати у відрядження?

15. Дослідження показали, що курс валюти А зростає в 75% випадків, якщо курс валюти В зростає; в 30% випадків, якщо курс В снижується, і 45% випадків, якщо курс В не змінюється. Припускаючи, що всі три гіпотези про зміну курсу валюти В рівноможливі, оцінити ймовірності цих гіпотез, якщо курс А підвищився.

16. Ймовірність отримання прибутку на ринку цінних паперів в середньому на одну акцію складає 0,4. Скільки потрібно придбати акцій різних фірм, щоб із ймовірністю, не менше 95% очікувати прибутку хоча б по одній із них?

17. В торгову фірму поступили комп’ютери від трьох постачальників у відношенні 2:3:5. Дослідження показали, що комп’ютери, які не потребують ремонту протягом гарантійного терміну відповідно в 98, 95 і 92% випадків. Знайти ймовірність того, що комп’ютер, який поступив в торгову фірму, може потребувати ремонту протягом гарантійного терміну.

Відповіді. 1.