Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Дискретні і неперервні випадкові величини





Глава V

Дискретні і неперервні випадкові величини

Означення 1. Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення (якого саме – заздалегідь невідомо).

Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z і т.п..

Прикладом випадкових величин можуть бути:

1. Число очок, що випало на грані грального кубика. Ця величина випадкова, може приймати значення: 1,2,3,4,5,6.

2. Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.

3. Довжина стовпчика термометра – випадкова величина, яка залежить від температури навколишнього середовища.

4. Значення діаметра виточеного на токарному станку вала.

5. Кількість студентів даного потоку, присутніх на лекції.

6. Кількість пасажирів у вагоні трамвая.

Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

Означення 2. Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення, які можна занумерувати.

До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 2, 5, 6.

Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченною або нескінченною зліченою множиною.

Означення 3. Неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку.

До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 3 і 4.

Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна і незлічена.

 

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень: х1, х2,..., хn. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її значень, повинні задаватись ймовірності , з якими випадкова величина приймає кожне з них, тобто .

Означення. Функція р(х), яка кожному значенню випадкової величини хі ставить у відповідність величину ймовірності рі, називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Її зручно задавати у вигляді таблиці такого вигляду:

Таблиця 1

Значення Х ... ...
Ймовірності ... ...

 

Це – таблиця розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х1, х2,..., хn є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

(1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу . Нагадаємо, що один з прикладів закону розподілу ми розглядали раніше (див.4.1,табл.2 і рис.1).

Приклад. Ймовірність здати іспит на “5” для кожного із шести студентів однакова і дорівнює 0,4. Випадковою величиною Х є число студентів, які здали іспит на “5”. Скласти закон розподілу числа студентів, які здали екзамен на “5”.

Розв’язання. Випадкова величина Х може приймати значення: 0,1,2,3,4,5,6. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти з формулою Бернуллі (1)(див.4.1) при n=6; p=0,4; q=0,6 і m=0,1,2,3,4,5,6.

Отже, знаходимо при

Х=m=0 P0=C60(0,4)0. (0,6)6» 0,047;

X=m=1 P1=C61 (0,4)1 . (0,6)5 » 0,181;

X=m=2 P2=C62(0,4)2 . (0,6)4 » 0,311;

X=m=3 P3=C63(0,4)3 . (0,6)3 » 0,276;

X=m=4 P4=C64(0,4)4 . (0,6)2 » 0,138;

X=m=5 P5=C65(0,4)5 . (0,6)1 » 0,037;

X=m=6 P6=C66(0,4)6 . (0,6)0 » 0,004.

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд:

Хі              
Рі 0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004

Задачі на закони розподілу дискретних випадкових величин

  1. Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.
  2. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,6. Здійснено 4 постріли. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількість влучень у мішень.
  3. У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість справних апаратів серед відібраних.

Відповіді.

1.

Х      
Р 9/16 6/16 1/16

2.

Х          
Р 16/625 96/625 216/625 216/625 81/625

3.

Х        
Р 1/30 3/30 1/2 1/6

5.3.Числові характеристики закону розподілу дискретної випадкової величини

Розглянемо ще один розподіл

СХ Сх1 Сх2 ... Схn
P p1 p2 pn

 

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

М(ХУ)=М(Х)·M(Y).

Перевіримо для окремого випадку. Нехай задані

Х х1 х2   Y y1 y2
Р р1 р2   P q1 q2

 

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності:

 

ХY
P

Тоді математичне сподівання добутку запишиться

M(XY)=x1y1p1q1+x1y2p1q2+x2y1p2q1+x2y2p2q2=

=y1q1(x1p1+x2p2)+y2q2(x1p1+x2p2)=(x1p1+x2p2

×(y1q1+y2q2)=M(X)·M(Y).

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Останню формулу перевіримо далі на прикладі 2.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання числа очок, які можуть випасти при підкиданні грального кубика.

Розв'язання. Випадковою величиною Х при підкиданні кубика є випадання числа очок, вона приймає значення: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ймовірність кожного з цих значень 1/6, тоді

Приклад 2. Знайти математичне сподівання суми очок, що випадають на гранях при підкиданні двох кубиків.

Розв'язання. Тут ми маємо суми двох випадкових величин Х=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок, що випадають на гранях першого кубика, і Y=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок на гранях другого кубика. Їх сума X+Y приймає значення: 2, 3, 4,..., 11, 12. Відповідні ймовірності знаходили вже (див. приклад 3,§1.3). Для зручності ми перепишемо заново отриману раніше таблицю розподілу:

 

X+Y                      
P

Знайдемо відповідно до таблиці математичне сподівання

Враховуючи результат попереднього прикладу,

М(Х)=3,5; М(Y)=3,5, маємо:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Біномінальний розподіл

Біномінальний є розділ ймовірностей появи m числа подій при n незалежних випробуваннях, в кожному з яких поява події А при одному випробуванні є сталою і дорівнює p. Ймовірність можливого числа появи події обчислюється за формулою Бернуллі.

, де q=1-p.

Сталі n і p, які входять у цей вираз, є параметрами біномінального закону розподілу, m – випадкова величина.

Біномінальний розподіл може бути заданий у вигляді таблиці (див. §4.1.)

 

     
 

 

і у вигляді функції розподілу

Теорема1. Математичне сподівання біномінального розподілу знаходиться за формулою:

M(X)=np. (1)

Доведення. Згідно означення математичного сподівання для дискретної випадкової величини

.

У нашому випадку отримуємо:

. (2)

 

Для обчислення суми (2) скористаємось формулою Ньютона

. (3)

Припустимо, що р – неперервна змінна, візьмемо похідну по змінній р у рівності (3):

. (4)

Врахуємо, що p+q=1 Þ (p+q)n-1=1, а також домножимо рівність (4) на р. Отримаємо рівність (2):

.

Теорема 2. Дисперсія біномінального розділу знаходиться за формулою:

D(Х)=npq. (5)

Доведення. Виходячи із формули (4) (див. 5.3.2)

D(Х)=M(X2)-(M(X))2,

ми повинні спочатку знайти математичне сподівання квадрата випадкової величини

. (6)

Для цього продиференціюємо ще раз по р рівність (4), маємо

.

Домножимо останню рівність на р2 і урахуємо, що

(p+q)n-2=1, тоді далі запишемо:

.

Оскільки

, а ,

то

Тоді

Теорема доведена.

 

Середнє квадратичне відхилення для біномінального розподілу дорівнює

. (7)

Без доведення випишемо показники асиметрії А і ексцеса Е для біномінального розподілу:

, (8)

 

(9)

На рис. 1 побудовані многокутники біномінального розподілу при n=5 і р= 0,2; 0,3; 0,5; 0,7 і 0,8

 

Рис.1

 

Особливістю цих розподілів є те, що ймовірність спочатку зростає при збільшенні m і досягає найбільшого значення при найімовірнішому значенні , яке, як відомо (див. 4.3), знаходиться із подвійної нерівності

.

Значення є модою біномінального розподілу

Так ламана лінія, для якої р=0,2 досягає найбільшого значення при найімовірнішому m0=1, а тоді її ймовірності спадають (див. рис. 1), а починаючи з точки графіка цієї ламаної асимптотично наближаються до осі абсиц, майже зливаються з нею.

Ламана для р=0,8 симетрична з розглянутою ламанаю для р=0,2 відносно прямої m=2,5. Розміщення решти графіків зрозуміло з рис. 1.

 

Розподіл Пауссона

Ми вже відмічали раніше, що при вивченні повторних незалежних випробувань, в залежності від величини чисел n і m ймовірності таких подій можна обчислювати за формулою Бернуллі або локальною формулою Муаврв-Лапласа. Якщо ж число випробувань n досить велике, а ймовірність р появи події при одному випробуванні мала, то при l=np£10 застосували наближену формулу Пуассона:

, де l=np (1)

Відмітимо, що виведення формули Пуассона проводиться у припущенні, що число l=np залишається сталим. Якщо припущення l=const залишити в силі, то у правій частині формули (1) число m може приймати значення 0, 1, 2, 3,.... Побудований таким чином розподіл носить назву закону Пуассона.

Закон Пуассона описує число подій m, що проходять за однакові проміжки часу за умови, що події відбуваються незалежно одна від одної із сталою інтенсивністю l. При цьому число випробувань n велике, а ймовірність появи події р у кожному із випробувань мала. Тому закон Пуассона називається ще законом розподілу рідкісних явищ.

Серед прикладів випадкових величин, розподіл ймовірностей яких підпорядковується закону Пуассона, можна назвати: число дзвінків по телефону за певний проміжок часу, число бракованих виробів і т.ін.

Закон розподілу Пуассона може бути заданий у вигляді ряду розподілу:

Таблиця 1.

Х=m         m
P(m)

Теорема 1. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, обчислюється за формулою:

М(Х)= l=np (2)

Доведення. Враховуючи означення для М(Х) і формулу (1) або Таблицю 1. розподілу, маємо

.

Тут використано розклад у степеневий ряд.

Теорема 2. Дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, обчислюється формулою:

D(Х)= l=np. (3)

Доведення. Дисперсію знаходимо за формулою:

D(Х)=М(Х2)-((М(Х))2

Математичне сподівання М(Х)= l=nр – вже відоме.

Щоб знайти математичне сподівання М(Х2) квадрата випадкової величини, складаємо відповідну відносно квадратів таблицю.

Таблиця 2.

Х2=m2 02 12 22 32 m2
P(m)

Тоді

Перетворимо загальний член цієї суми:

 

Отже,

.

Тому

.

Характерною особливістю розподілу Пуассона є рівність математичного сподівання і дисперсії.

Вирази для асиметрії і ексцеса для розподілу Пуассона мають вигляд:

, (4)

. (5)

На рис. 2 подані многокутники розподілу Пуассона, які відповідають різним значенням параметра .

 

Рис.2

 

 

Задачі до глави V

1. Стрілець, маючи три патрони, стріляє до першого влучення в ціль. Ймовірність влучення при кожному з вистрілів дорівнює 0,7. Знайти закон розподілу числа зроблених вистрілів.

2. Гравець має у запасі 4 жетони для грального автомата і грає до першого виграшу. Ймовірність виграшу на один жетон дорівнює 0,6. Побудувати закон розподілу числа використаних жетонів. Знайти математичне сподівання числа використаних жетонів.

3. Можливі значення випадкової величини такі:

х1=2, х2=5, х3=8. Відомі ймовірності: Р(х=2)=0,4, Р(х=5)=0,15. Знайти Р(х=8).

4. Випадкова величина Х розподілена за законом:

xi          
pi 1/4 1/8 1/4 1/8 1/4

Знайти: а) Р(Х£3); б) Р(2£Х£5); в) Р(1£Х£4); г) Р(Х³2).

5. За законом розподілу випадкової величини

xк          
pк 1,5 а2 а2 а а 0,5

Знайти: а) а; б) Р(Х£3); в) Р(Х<4); г) найбільше значення к, при якому Р(х³к)>0,75.

6. Скласти закони розподілу таких випадкових величин: 1) числа попадань м'ячем у корзину при чотирьох спробах, якщо ймовірність попадання при кожній із спроб 0,7; 2) числа очок, що випали, при підкиданні грального кубика; 3) числа гербів, що випали при трьох підкиданнях монети; 4) кількість дільників натурального числа, вибраного навмання від 1 до 10.

7. При влученні у сектор І стрілець отримує 10 копійок, у сектор ІІ – 20 коп., у сектор ІІІ-35 коп., сектори вважаються однаковими. За право стріляти один раз стрілець платить 25 коп. Скласти закон розподілу чистого виграшу стрільця: 1) при одному вистрілі; 2) при двох вистрілах.

8. Мішень установлена так, що може обертатись навколо осі. При попаданні в сектор 1 стрілець виграє 1 грн. в сектор 2 – 2 грн. і т.д., в сектор 8 –8 грн. Якщо кутова швидкість обертання мішені досить велика, то стрілець не взмозі розібрати цифри, тому він стріляє навмання. Чи буде гра безпрограшною, якщо за право стріляти один раз потрібно платити 5 грн.?

9. Число заявок, які поступають у 2 пральні за 1 годину, мають відповідно закони розподілу:

Xi(1.2)          
Pi(1) 0,05 0,1 0,2 0,25 0,4
Pi(2) 0,1 0,15 0,15 0,25 0,35

а) Яка з пралень більше завантажена роботою?

б) Знайти середнє число заявок, які поступають у першу пральню за 7 годин?

в) Яке середнє число заявок поступає в обидві пральні за одну годину?

10. Випадкова величина Х має закон розподілу

xк        
pк 0,3 0,1 0,4 0,2

Знайти D(3X-2): 1) попередньо склавши закон розподілу випадкової величини 3х-2; 2) використовуючи властивості дисперсії.

11. З рекламною метою торгова фірма вкладає в кожну 5-ту одиницу товару грошовий приз у размірі 100 грн. Скласти закон розподілу випадкової величини – розміру виграшу при 3-х покупках. Знайти математичне сподівання виграшу.

12. У акціонера є три акції. Знайти закон розподілу числа акцій, за якими він може отримувати дохід, якщо ймовірність отримання доходу відповідно дорівнює 0,4, 0,5 і 0,6.Знайти математичне сподівання даної випадкової величини.

 

Відповіді. 3. 0,45. 4. а)5/8; б)1/2; в) 3/4. 5. а) 0,12; б)0,9; в) 0,3; г) 3. 9. а) перша; б) ~20; в) 5,45. 10. 11,25. 10. 60. 12. 1,5.

 

Глава V

Дискретні і неперервні випадкові величини

Означення 1. Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення (якого саме – заздалегідь невідомо).

Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z і т.п..

Прикладом випадкових величин можуть бути:

1. Число очок, що випало на грані грального кубика. Ця величина випадкова, може приймати значення: 1,2,3,4,5,6.

2. Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.

3. Довжина стовпчика термометра – випадкова величина, яка залежить від температури навколишнього середовища.

4. Значення діаметра виточеного на токарному станку вала.

5. Кількість студентів даного потоку, присутніх на лекції.

6. Кількість пасажирів у вагоні трамвая.

Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

Означення 2. Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення, які можна занумерувати.

До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 2, 5, 6.

Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченною або нескінченною зліченою множиною.

Означення 3. Неперервною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку.

До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 3 і 4.

Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна і незлічена.

 







ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.