Закон розподілу дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень: х₁, х₂,..., х_n. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її значень, повинні задаватись ймовірності , з якими випадкова величина приймає кожне з них, тобто .

Означення. Функція р(х), яка кожному значенню випадкової величини х_і ставить у відповідність величину ймовірності р_і, називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Її зручно задавати у вигляді таблиці такого вигляду:

Таблиця 1

Значення Х			...		...
Ймовірності			...		...

Це – таблиця розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х₁, х_2,..., х_n є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

(1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу . Нагадаємо, що один з прикладів закону розподілу ми розглядали раніше (див.4.1,табл.2 і рис.1).

Приклад. Ймовірність здати іспит на “5” для кожного із шести студентів однакова і дорівнює 0,4. Випадковою величиною Х є число студентів, які здали іспит на “5”. Скласти закон розподілу числа студентів, які здали екзамен на “5”.

Розв’язання. Випадкова величина Х може приймати значення: 0,1,2,3,4,5,6. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти з формулою Бернуллі (1)(див.4.1) при n=6; p=0,4; q=0,6 і m=0,1,2,3,4,5,6.

Отже, знаходимо при

Х=m=0 P₀=C₆⁰(0,4)^0. (0,6)⁶» 0,047;

X=m=1 P₁=C₆¹ (0,4)^{1 .} (0,6)⁵ » 0,181;

X=m=2 P₂=C₆²(0,4)^{2 .} (0,6)⁴ » 0,311;

X=m=3 P₃=C₆³(0,4)^{3 .} (0,6)³ » 0,276;

X=m=4 P₄=C₆⁴(0,4)^{4 .} (0,6)² » 0,138;

X=m=5 P₅=C₆⁵(0,4)^{5 .} (0,6)¹ » 0,037;

X=m=6 P₆=C₆⁶(0,4)^{6 .} (0,6)⁰ » 0,004.

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд:

Задачі на закони розподілу дискретних випадкових величин

1. Два гральні кубики одночасно підкидають два рази. Написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість появи непарного числа очок на верхній грані кожного кубика.
2. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,6. Здійснено 4 постріли. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – кількість влучень у мішень.
3. У партії з 10 телефонних апаратів є 4 несправні. Навмання відібрано 3 апарати. Скласти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – кількість справних апаратів серед відібраних.

Відповіді.

1.

2.

3.

5.3.Числові характеристики закону розподілу дискретної випадкової величини

Математичне сподівання. Властивості

Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків значень випадкової величини на відповідні цим значенням ймовірності

. (1)

Нехай проведено n випробувань, у яких випадкова величина Х прийняла значення

х₁ - m₁ раз,

х₂ - m ₂ раз,

.....................

х_k - m_k раз.

Тоді середнє арифметичне значення дорівнює (див. Главу 2)

або

,

де - відносні частоти, а

.

Якщо число випробувань велике, то відносна частота наближається до ймовірності, тобто

Тоді

середнє арифметичне наближається до математичного сподівання

.

Таким чином, математичне сподівання – це середнє очікуване значення випадкової величини.

Розглянемо основні властивості математичного сподівання.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій сталій

де С=const.

Доведення. Якщо випадкова величина у всіх випробуваннях приймає одне й те ж значення С, то ймовірність такої події дорівнює одиниці. Тоді за означенням потрібно цю величину помножити на одиницю

М(С)=С·1=С

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

М(СХ)=СМ(Х)

Доведення. Нехай задано розподіл

Х	х1	х2	...	хn
P	p1	p2	…	pn

 

Розглянемо ще один розподіл

СХ	Сх1	Сх2	...	Схn
P	p1	p2	…	pn

 

Тоді математичне сподівання для останнього

.

Властивість 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань

М(ХУ)=М(Х)·M(Y).

Перевіримо для окремого випадку. Нехай задані

Х	х1	х2		Y	y1	y2
Р	р1	р2		P	q1	q2

 

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY, а також знайдемо відповідні їм ймовірності:

 

ХY
P

Тоді математичне сподівання добутку запишиться

M(XY)=x₁y₁p₁q₁+x₁y₂p₁q₂+x₂y₁p₂q₁+x₂y₂p₂q₂=

=y₁q₁(x₁p₁+x₂p₂)+y₂q₂(x₁p₁+x₂p₂)=(x₁p₁+x₂p₂)×

×(y₁q₁+y₂q₂)=M(X)·M(Y).

Властивість 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Останню формулу перевіримо далі на прикладі 2.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання числа очок, які можуть випасти при підкиданні грального кубика.

Розв'язання. Випадковою величиною Х при підкиданні кубика є випадання числа очок, вона приймає значення: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ймовірність кожного з цих значень 1/6, тоді

Приклад 2. Знайти математичне сподівання суми очок, що випадають на гранях при підкиданні двох кубиків.

Розв'язання. Тут ми маємо суми двох випадкових величин Х=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок, що випадають на гранях першого кубика, і Y=1, 2, 3, 4, 5, 6 – кількість очок на гранях другого кубика. Їх сума X+Y приймає значення: 2, 3, 4,..., 11, 12. Відповідні ймовірності знаходили вже (див. приклад 3,§1.3). Для зручності ми перепишемо заново отриману раніше таблицю розподілу:

 

X+Y
P

Знайдемо відповідно до таблиці математичне сподівання

Враховуючи результат попереднього прикладу,

М(Х)=3,5; М(Y)=3,5, маємо:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: