Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Точки разрыва функции и их классификация





 

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 7, 8.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом:

Определение 11Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .

Определение 12Точка называется точкой устранимого разрывафункции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке или определена, но .

Определение 13Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.

Пример 8 Найти точки разрыва функции и определить их тип:

Решение.Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

; .

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .

Для точки находим:

;

; .

Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.

График данной функции изображен на рисунке:

 

Лекция 3 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

План

1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

 

Ключевые понятия

Правила дифференцирования. Производная функции. Уравнение касательной. Уравнение нормали. Производные суммы, произведения, частного двух функций. Производная сложной функции. Производные высших порядков.

 

 

1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл.
Основные правила дифференцирования.
Производные основных элементарных функций

 

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х0.

Определение 1Производной функции f(х) в точке х0 называется число, обозначаемое f ¢ (х0) и равное

, (1)

если этот предел существует.

Так как х = х0 + ∆х, хх0 = ∆х, то предел (1) может быть записан в виде

, (2)

т. е. производная функции f(x) в точке х0 есть предел отношения ее приращения ∆f(х0) в этой точке к соответствующему приращению аргумента ∆х, когда ∆х стремится к нулю.

Для обозначения производной функции f(x) в точке х0 используют следующие выражения:



.

Определение 2Правой производной называется число

. (3)

Аналогично определяется левая производная .

Заметим, что существование производной функции в точке равносильно равенству ее односторонних производных в этой точке.

Пример 1 Используя определение производной, найти для функции f(x) = 4x2 – 1.

Решение.

Ответ: = 24.

Пример 2 Найти односторонние производные функции f(x) = | x | в точке х0 = 0.

Решение:

Таким образом, функция f(x) = | x | в точке х0 = 0 не имеет производной, так как односторонние производные не совпадают.

Ответ: = 1,

Выясним геометрический смысл производной.

Пусть f(х) – непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки х0. Рассмотрим две точки А (х0; f(х0)) и В (х1; f(х1)), лежащие на графике функции f(х).

Прямая l = АВ называется секущей. Запишем ее уравнение, используя уравнение прямой, заданной двумя точками:

l: .

Выразим из этого уравнения у:

, (4)

где

 

Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x). Тогда секущая АВ будет стремиться к некоторому предельному положению. Это предельное положение секущей называется касательной к графику функции f(x) в точке х0, если существует конечный предел

,

который называется угловым коэффициентом касательной к графику функции f(x) в точке х0. Из (4) следует, что

(5)

– уравнение касательной к графику f(x) в точке х0.

Таким образом, ,

где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

Следовательно, с геометрической точки зрения, производная функции f(x) в точке х0 численно равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в точке х0 и положительным направлением оси Ох.

Если касательная образует угол 90о с положительным направлением оси Ох, то будем говорить, что функция имеет в данной точке производную, равную ¥.

Определение 3Прямая, перпендикулярная к касательной графика функции f(x) в точке , называется нормалью к кривой, определяемой функцией f(x) в точке х0. Учитывая, что для перпендикулярных прямых k1k2 = –1, из уравнения (5) получаем уравнение нормали к графику функции f(x) в точке х0:

. (6)

Определение 4Углом φ между двумя кривыми у = f1(х) и у = f2(х) в точке их пересечения с абсциссой х0 назовем угол между касательными к этим кривым, проведенными к ним в этой точке:

. (7)

Выясним теперь экономический смысл производной.

Пусть функция у = f(х) устанавливает зависимость объема выпуска продукции от затрат ресурса х, а ресурс х получает прирост Δх. Тогда будет приращением выпуска продукции, а отношение – средним приращением выпуска продукции на единицу затрат.

Следовательно, производная выражает предельный продукт при затратах х и представляет собой приближенно дополнительный выпуск продукции на единицу дополнительных затрат.

Если функция у = f (t) выражает количество произведенной продукции за время t, то (t) есть предельная производительность в момент времени t. Аналогичным образом могут быть определены предельные издержки, предельный доход, предельная выручка и т. д.

Отметим, что если функция f(х) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Действительно, так как , то , где = 0 (теорема о связи предела функции и бесконечно малой функции).

Следовательно,

т. е. по необходимому и достаточному условию непрерывности функции в точке х0 функция f(х) непрерывна в точке х0.

Определение 5Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.