Тема: Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Тема: Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел или каких-либо других объектов. У матрицы различают элементы, строки и столбцы. В общем виде:

Первый индекс указывает номер строки, а второй номер столбца. Иногда коротко пишут:

т.е. I меняется от 1 до m, а j от 1 до n.

Пара чисел

называется размерностью матрицы.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, тогда говорят о ее порядке.

Матрица, у которой всего один столбец называется столбцевой, или числовым вектором.

Матрица, у которой всего одна строка называется строчной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. И обозначается 0.

Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной

Иногда применяется транспонирование матрицы А, т.е. перемена ролями ее строк и столбцов, полученную матрицу обозначим

1. Матрицы одинакового размера можно складывать по формуле:

2. Матрицы можно умножать на число по формуле:

3. Если число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй, то матрицы можно перемножать друг на друга по правилу:

- получается путем умножения элементов I-той строки первой матрицы на элементы j-того столбца второй и результаты складываются.

Квадратная матрица имеет определитель, который будем обозначать detА или

Тема: Определители второго и третьего порядка. Вычисление определителей с применением их свойств.

Выражение

называется определителем (детерминантом) второго порядка и записывается в виде:

, (4)

где вертикальные черточки – знак определителя.

Аналогично определитель матрицы третьего порядка:

(5)

Это выражение называется определителем третьего порядка.

Данный определитель можно вычислить по правилу треугольника:

Главная диагональ и треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали со знаком плюс.

побочная диагональ и треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали со знаком минус.

Определитель третьего порядка имеет три строки (горизонтальные ряды), три столбца

(вертикальные ряды), девять элементов (числа

1. Если переставить два параллельных ряда, т.е. две строки или два столбца, то определитель умножится на –1.

2. Если определитель имеет два одинаковых ряда, то он равен нулю.

3. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя.

4. Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

5. Если к каждому из элементов какого-либо ряда прибавить числа, пропорциональные соответствующим элементам какого-нибудь другого ряда, параллельному первому, то значение определителя не изменится.

6. Определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно. Это называется транспонированием определителя.

Разложение определителя по элементам ряда:

Алгебраическим дополнением к элементу называется определитель, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, в которых находится данный элемент. Но этот определитель надо взять со знаком «+» или «-«, в зависимости от положения данного элемента в исходном определителе: если сумма индексов элемента четна, то берется со знаком «+», если нечетно, то «-«. Обозначается

В определителе (5) алгебраическое дополнение

элемента

равно

алгебраическое дополнение

элемента

равно

и т.д.

Имеет место следующее свойство определителей: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь из рядов на алгебраические дополнения этих элементов.

Например: Разложение определителя по элементам первой строки:

Обратной к матрице А называется матрица

, такая, что

Квадратная матрица, для которой

, называется вырожденной. Вырожденная матрица не имеет обратной, а всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Возьмем невырожденную матрицу

, тогда обратная будет

(7),

где большими буквами А₁……С₃ – обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов в матрице А.

Вычеркнем из матрицы А несколько строк и столбцов так, чтобы количество оставшихся строк равнялось количеству оставшихся столбцов. Если после этого заменить знак матрицы на знак определителя, то полученный определитель называется минором матрицы А Матрица имеет много миноров, причем некоторые из них могут равняться нулю, а другие отличны от нуля. Наивысший из порядков миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы А.

Ранг нулевой матрицы, у которой все миноры равны нулю, принимается равным нулю.

Ранг матрицы равен максимально возможному числу ее линейно независимых строк. Матрицу А с помощью элементарных преобразований сводят к ступенчатому виду и посчитают количество строк. Это и будет ранг матрицы.

2. прибавляем к одной строке другую, умноженную на какое либо число.

Тема: Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия.

Если началом вектора

является точка А(

), а концом В(

), то

имеет координаты:

(1)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если

, то

(2)

Вектор

коллинеарен вектору

, если их координаты пропорциональны:

Следовательно длина вектора

вычисляется по формуле

(6)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам:

;

; (7)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка:

;

(8)

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле

(10)

Косинус угла между векторами находится по формуле:

(11)

Если началом вектора

является точка А(

), а концом В(

), то

имеет координаты:

(12)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если

, то

(13)

Вектор

коллинеарен вектору

, если их координаты пропорциональны:

Следовательно длина вектора

вычисляется по формуле

(17)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам:

;

(18)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка:

;

(19) Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые он образует с осями координат.

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле

(22)

Косинус угла между векторами находится по формуле:

(23)

Способы задания прямой основаны на аксиомах и теоремах школьного курса. Из школьного же курса известно общее уравнение прямой:

Угловым коэффициентом прямой называется число, равное отношению второй координаты ее направляющего вектора к первой координате

Замечание: Геометрический смысл углового коэффициента имеет смысл только в

Всякий вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой.

Если прямая задана общим уравнением, то за нормальный вектор можно принять

Направляющим вектором

прямой

называется всякий вектор, параллельный этой прямой или лежащий на ней. Если прямая задана общим уравнением, то направляющим вектором является

или

Дано:

каноническое уравнение прямой будет:

4. Задание прямой проходящей через две различные точки.

Угол между пересекающимися прямыми вычисляется по формуле:

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.

Например, соответствия ƒ и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу хÎX соответствует элемент уÎY. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ).

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.

Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х²-3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции у=√(1-х²) является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром в О(0;0) (см. рис. 99).

Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у= √(1-х2)является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Пусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102).

Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х=j(y)=f^-1(y).Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х (если это возможно).

1. Для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2;

2.Для функции у=х2 хє[0;1] обратной функцией является х=√у;заметим, что для функции у=х², заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция ƒ(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция у=ƒ(х) и обратная ей х=φ(у) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у=ƒ(х) запишется в виде у=φ(х).

Это означает, что точка M₁(x_o;y_o) кривой у=ƒ(х) становится точкой М₂(у_о;х_о) кривой у=φ(х). Но точки M₁ и М₂ симметричны относительно прямой у=х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функции у=ƒ(х) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D₁, причем для " xÎ D₁ соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D ₁ определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Теорема: Пусть даны две функции

, дифференцируемы на промежутке

. Если существует интеграл

, следовательно, существует интеграл

Условно интегралы, берущиеся по частям, можно разбить на группы.

за

обозначают то что в скобках, а за

все остальное.

берутся с помощью повторного интегрирования (за u берем

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми

Материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью

. Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от

до

Если

- функция, то путь

, пройденный телом, определяется из равенства