Тема: Предел функции в точке. Свойства предела. Односторонние пределы. Непрерывные функции и их свойства.
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема: Предел функции в точке. Свойства предела. Односторонние пределы. Непрерывные функции и их свойства.





Числовой последовательностьюназывается занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

В общем виде записывают: , где называется общим членом последовательности.

Последовательность называется возрастающей,( убывающей) если каждый ее член начиная со второго, больше (больше или равен) предыдущего, т.е. если для любого n выполняется неравенство: .( )

Переменная величина называется бесконечно малой, если она изменяется так, что, какое бы малое положительное число ни взять, абсолютная величина становится, и, при дальнейшем изменении величины , остается, меньше .

Если - бесконечно большая величина, то обратная ей величина будет бесконечно малой.

Если - бесконечно малая величина, то обратная ей величина будет бесконечно большой.

Постоянная называется пределом переменной х , если х в некотором процессе стремится к конечному пределу и безгранично приближается к . Тогда пишут или .

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N0, что начиная с этого номера ( т.е. для всех n N0), будет выполнено неравенство:

( )

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, если не имеет конечного предела, тогда расходящейся.

Свойства пределов:

1. Если последовательность имеет конечный предел, то только один.

2. Предел постоянной величины равен ей самой:

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: .

4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ( )



6. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:

( )

7. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовате6льности равен корню этой же степени от предела последовательности:

Важно знать некоторые пределы:

1. , где - второй замечательный предел

2.

3.

Определение предела функции по Гейне:

Число А называется пределом функции при стремящимся к , если для любой последовательности , все члены которой принадлежат области определения функции и не равны выполняется условие что последовательность стремится к А.

)

Определение предела функции по Коши:

Число А называется пределом функции при , если для любого числа можно указать такое , что для всех , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Если число А1 есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то А1 называется левым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Если число А2 есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, большие а, то А2 называется правым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Эти пределы называются односторонними пределами функции.

Теорема: Для того, чтобы функция имела предел равный А в точке а, необходимо и

Достаточно, чтобы существовали односторонние пределы функции в этой точке и

были равны между собой.

Теорема 1: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов функций и :

Теорема 2: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

Теорема 3: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел отношения , равный отношению пределов функций и :

, где

Следствия:

 

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: , .

2. Если - натуральное число, то , при .

3. Предел многочлена при равен значению этого многочлена при т.е. .

4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е. и .

 

Важно знать некоторые пределы наизусть:

Первый замечательный предел-

Следствия:

Второй замечательный предел -

Следствия:

 

Функция называется непрерывной в точке если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

 

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое, что для всех из области определения функции, удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство .

 

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

 

Условия непрерывности функции в точке:

1. - определена.

2.

3.

 

Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 2: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 3: Если функции и непрерывны в точке и , то функция

так же непрерывна в этой точке.

Свойства функций непрерывных на отрезке.

 

Теорема1: Больцано- Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема2: Больцано- Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция принимает на отрезке свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки , что для любой точки справедливы равенства .

Теорема3: Больцано- Коши о нулях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения противоположных знаков, то существует точка на этом отрезке в которой значение функции равно нулю .

Теорема4: Больцано- Коши о промежуточных значениях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа С, заключенного между числами и , найдется такая точка , что

 

 

Если не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции.

Условие непрерывности можно переписать следующим образом: (*)

Если хотя бы одно из выражений в равенстве (*) не существует или не выполняется хотя бы одно из равенств, то точка называется точкой разрыва функции.

 

Точка называется точкой разрыва устранимого режима, если односторонние пределы функции в этой точке существуют и равны между собой, но не равны значению функции в этой точке или функция в этой точке не определена.


У у

 

 

0 х0 х 0 х0 х

 

Точка называется точкой разрыва первого рода (скачок), если односторонние пределы функции в этой точке существуют но не равны между собой.

у

 

 

0 х0 х

Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

 

у

 

0 х0 х

 

Теорема: Если строго монотонна на и произвольная точка этого отрезка, то

верхняя грань совпадает с левым пределом этой функции, не превосходит , не

превосходит правого предела и не превосходит правой грани.

 

Утверждение1: Всякая строго монотонная на промежутке функция имеет односторонние пределы в

каждой точке этого промежутка.

Утверждение2: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке совпадают, то

функция непрерывна в этой точке.

Утверждение3: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке не совпадают, то

это точка разрыва первого рода (скачок).

 


Тема 2.2. Лекция 9. Занятие 13









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.