Ускорение точки в прямолинейном движении
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Ускорение точки в прямолинейном движении





В общем случае движение точки с изменяющейся во времени скоростью называют ускоренным, при этом считая ускорение, вызывающее уменьшение скорости, отрицательным. Иногда движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, называют замедленным.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами - ускорение - это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: аср = Δv/Δt.

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).
Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:

а = lim аср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.

Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d2s/dt2.

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

Единица ускорения - метр, деленный на секунду в квадрате (м/с2).



***

Ускорение точки в криволинейном движении

При движении точки по криволинейной траектории скорость меняет свое направление, т. е вектор скорости является переменной величиной.

Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение М1 (рис. 1).

Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда: Δv = v1 – v.

Для нахождения вектора Δv перенесем вектор v1 в точкуМ и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

аср = Δv/Δt.

Вектор аср параллелен вектору Δv, так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется.
Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:

а = lim Δv/Δt при t→0.

Такой предел называют векторной производной.
Таким образом, истинное ускорение точки в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени.

Из рисунка 1 видно, что вектор ускорения в криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Так как векторную производную непосредственно вычислять мы не умеем, то ускорение в криволинейном движении будем определять косвенными методами. Так, например, если движение точки задано естественным способом, то применяется теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль. Чтобы понять суть этой теоремы, следует рассмотреть понятие кривизны кривых линий.

***



 

Понятие о кривизне кривых линий

Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2а).
Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках называется углом смежности.

Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения угла смежности Δφ к соответствующей длине Δs дуги, когда последняя стремится к нулю.
Обозначим кривизну буквой k, тогда:

k = lim Δφ/Δs при Δs → 0.

Рассмотрим окружность радиуса R (см. рисунок 2б).
Так как Δs = RΔφ, то:

k = lim Δφ/Δs = lim Δφ/RΔs = 1/R (при Δs → 0).

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одинакова и равна k = 1/R.

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус ρ такой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке, а центр этой окружности – центром кривизны.

Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обратная радиусу кривизны в данной точке:

k= 1/ρ.

Очевидно, что кривизна прямой линии будет равна нулю, а поскольку радиус кривизны такой линии равен бесконечности.

***









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.