Тема: 2.1 «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- в целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Методы обучения: Лекция объяснительно – иллюстрированная.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, дидактический материал, школьная доска.

Планируемый результат:

Предметные:

Студент знает: применение пределов функций, применение производных функции, применение интеграла.

Умеет:

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания пределов функции;

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания производных функции и знать применение производной к исследованию функции и решению задач (геометрический и механический смысл производной);

- использовать алгоритмы, свойства основные теоремы для отыскания определенных и неопределенных интегралов, знать геометрическое применение определенного интеграла (площадь криволинейной трапеции);

- уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.

Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач.

Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Структура занятия:

I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности.

II. Актуализация умений и навыков обучающихся.

Подробный конспект занятия.

I. Организационные моменты. Мотивация учебной деятельности студентов по теме.

Сообщение темы и целей занятия. Отчет старосты группы о посещаемости студентами лекции.

II. Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашней работы. (Разобрать задания, с которыми возникли трудности).

2. Проверка теоретических сведений по «Основам линейной алгебры».

1) Понятие матрицы.

2) Действия над матрицами

3) Определители матрицы. Их свойства

4) Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица

5) Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и способы их решения.

6) Применение матриц в практической деятельности.

III. Повторение и обобщение изученного материала.

Повторение и обобщение изученного материала по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление» по плану:

1. Функция одной переменной. Пределы

2. Непрерывность функции

3. Производная, геометрический смысл

4. Исследование функций с помощью производной

5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной

6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

7. Функция нескольких переменных. Применение интеграла к решению прикладных задач

Примеры.

1. Найти предел функции y =2 x +1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M (x, y) графика стремятся к точке M (1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2 x+ 1) – 3 |< ε или |2 x –2| < ε, откуда | x – 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x – 1 |< δ, будет выполняться неравенство | y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y =2 x +1 при x → 1.

2. Найти предел функции y =e^x+1 при x → 0.

Используя график заданной функции, несложно заметить, .

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Пример. .

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример. .

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Примеры.

1. .

2. .

3. Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u (x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела в заданной точке, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x, стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут и называют b пределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, , а .

2.

3. .

4. .

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Условные выражения

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность .

1. .

2. .

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x =1 является корнем многочлена x³ – 6 x² + 11 x – 6, то при делении получим

3.

4.

5. .

II. Неопределенность .

1. .

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

2. .

3. .

4. .

При вычислении предела воспользовались равенством ,если x< 0.

Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .

III. Неопределенность 0 ·∞.

.

IV. Неопределенность ∞ –∞.

1.

2.

3. .

Замечательные пределы

Функция не определена при x =0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х →0.

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции в точке

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке ;

этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной справа в точке , если .

Функция называется непрерывной слева в точке , если .

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

2. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .

Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема

Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция . Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция) .

Теорема

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .

Определение

Приращением аргумента в точке называется разность

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .

Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Теорема

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Точки разрыва функции и их классификация

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке ;

это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя бы один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Определение

Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть

Определение

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

Теорема

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

Задание. Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

(м/с).

Ответ. (м/с).

Замечание

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Пример

Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда , а значит

А отсюда следует, что

Ответ.

Пусть функция y = f (x) на интервале (a, b) имеет производную , которая также является функцией от x. Назовём её производной первого порядка.
Если функция дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается символами
или . (3.26)
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается
или . (3.27)
Производной любого n -го порядка, или n -й производной, называется производная от производной (n – 1)-го порядка:
или . (3.28)
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Рассмотрим физический смысл производной второго порядка. Пусть материальная точка M движется прямолинейно по закону S = S (t) со скоростью , где t – время движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Тогда за время Δ t скорость получит приращение . Отношение

называется средним ускорением движения точки за время Δ t. Предел этого отношения при называется ускорением точки M в данный момент времени t и обозначается :
.
Таким образом, вторая производная от пути по времени имеет физический смысл ускорения точки при её прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется равномерно, т. е. с постоянной скоростью V (t) = const, то W (t) = .
З а м е ч а н и е. Производные 2-го порядка от функций, заданных неявно и параметрически, определяются аналогично как производные от производных 1-го порядка, но имеют гораздо более сложный вид.

Примеры.

1. y = sin x ². Тогда .

2.

3.

4.

Таблица простейших интегралов

1. ,(n -1)

2.

3.

4.

5.

6.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:

Приведем еще одну очевидную формулу:

,

т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.