|
|
Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действияИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Первообразная Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действия Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции. Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: нахождение функции по заданной её производной или дифференциалу. Например: требуется определить зависимость скорости точки от времени Определение первообразной Функцию, восстанавливаемую по заданной её производной или дифференциалу, называется первообразной. Определение. Дифференцируемая функция Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной. Так, функция Примеры нахождения первообразной функции: Пример 1. Найти первообразную функции Можно догадаться, что первообразной является функция Пример 2. Найти первообразную функции Первообразной является функция Пример 3. Проверить, что функция Неоднозначность нахождения первообразной Дифференцирование функции – однозначная операция, т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первой производной – не однозначна. Так, функции Теорема. Если
Пусть Неопределённый интеграл и его свойства Первообразную можно находить не только по данной её производной, но и по её дифференциалу. Определение. Совокупность всех первообразных Таким образом, если
где С – любое действительное число. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по её производной не вполне определённой; отсюда происходит и само название «неопределённый интеграл». Пользуясь определением неопределённого интеграла, можно записать:
Поэтому, чтобы найти неопределённый интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну её первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С. Чтобы проверить, правильно ли найден неопределённый интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию; если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно. Например, Приложения неопределённого интеграла Определённый интеграл Определение. Если F(x)+C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определённым интегралом и обозначается символом Функция f(x) предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента x от a до b. Для вычисления определённого интеграла 1) неопределённый интеграл 2) значение интеграла F(x)+C при x=b, C=0, т.е. вычисляют F(b); 3) значение интеграла F(x)+C при x=a, C=0, т.е. вычисляют F(a); 4) разность F(b) – F(a). Процесс вычисления виден из формулы
Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Так как приращение F(b) – F(a) равно некоторому числу, то определённый интеграл есть число (в отличие от неопределённого интеграла, который есть совокупность функций). Геометрический смысл определённого интеграла заключается, очевидно, в том, что ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Первообразная Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действия Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции. Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: нахождение функции по заданной её производной или дифференциалу. Например: требуется определить зависимость скорости точки от времени Определение первообразной Функцию, восстанавливаемую по заданной её производной или дифференциалу, называется первообразной. Определение. Дифференцируемая функция Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной. Так, функция Примеры нахождения первообразной функции: Пример 1. Найти первообразную функции Можно догадаться, что первообразной является функция Пример 2. Найти первообразную функции Первообразной является функция Пример 3. Проверить, что функция   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, если известен закон движения точки, т.е. известна зависимость радиус-вектора точки от времени 
– это задача дифференцирования, поскольку 
. Обратная задача – нахождение закона движения точки 
называется первообразной для функции 
на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство 
.
есть первообразная функции 
, поскольку 
.
.
. Действительно: 
.
.
. Действительно: 
.
является первообразной функции 
. Действительно: 
.
, 
, 
, 
, где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции 
, поскольку все эти функции имеют 4 x 3.
, где С – любое действительное число.
Доказательство. Пусть 
. Покажем теперь, что все первообразные функции 
– другая первообразная функции 
. Тогда 
при всех x из рассматриваемого промежутка. Следовательно, 
, что и требовалось установить. Отсюда следует, что задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Геометрически выражение 
представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси 0Y.
функции 
, где 
– подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.
,
и т.д.
. Сделаем проверку: 
или 
. Следовательно, интеграл найден верно.
, т.е. 
, где a – нижний предел, b – верхний предел определённого интеграла.
;
.
Под F(x) в формуле понимают простейшую из первообразных функций, у которой C=0.