Графическое решение матричной игры
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Графическое решение матричной игры





Если число стратегий одного из игроков равно двум, то для нахождения оптимальных стратегий можно легко воспользоваться графическим методом.

Пусть платежная матрица имеет вид

.

 

Для произвольной стратегии второго игрока, контролирующего столбцы, имеем выигрыш первого игрока

,

поскольку, как сказано раньше,

, .

Графиком зависимости будет некоторая прямая. Для разных стратегий, то есть для разных , получаются разные прямые.

Рассмотрим прямоугольную систему координат, где по оси абсцисс откладывается единичный отрезок A1A2; точка A1 изображает стратегию A1 , а точка A2 изображает стратегию A2. Все промежуточные точки этого отрезка - смешанные стратегии первого игрока, причем расстояние до правого конца отрезка - это вероятность p1 стратегии A1, расстояние до левого конца отрезка это вероятность p2 стратегии A2. На перпендикулярах х=0 и х=1 откладываем выигрыши при стратегиях A1 и A2 соответственно (Рис.3.1).

Рис. 3.1. Графическое нахождение цены игры

На рис. 3.1 изображен случай для игры 2 3. Из принципа минимакса следует, что надо взять нижнюю огибающую всех прямых, соответствующих стратегиям второго игрока (она показана на рисунке жирной линией), а на этой ломаной, обязательно обращенной выпуклостью вверх, надо найти вершину, имеющую максимальное значение v*. Абсцисса этой точки x* и будет искомым значением p1*.

Геометрически можно определять и оптимальную стратегию игрока В для игры , но в этом случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум.

Алгоритм геометрического решения игры 2×N

1. Откладываем горизонтальный отрезок [0,1], каждая точка которого соответствует смешанной стратегии игрока A. В концах этого отрезка проводим два перпендикуляра. Левый соответствует чистой стратегии A1, правый - чистой стратегии A2 игрока A.



2. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с горизонтальным отрезком откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первой строки платежной матрицы. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второй строки платежной матрицы. При этом масштабы на обоих перпендикулярах должны быть одинаковые, но не обязаны совпадать с масштабом отрезка [0,1].

3. Каждую пару точек, изображающих элементы a1j, a2j, j=1,...,n, стоящих в j-м столбце платежной матрицы, соединяем отрезком a1j, a2j . Таким образом будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций

H(P,Bj )=(a2j-a1j )p+ a1j, j=1,...,n, pÎ[0,1].

4. Находим нижнюю огибающую семейства построенных отрезков a1j, a2j, представляющую собой выпуклую вверх ломаную. Затем находим максимальную точку нижней огибающей. Абсцисса рoэтой точки определяет оптимальную смешанную стратегию Po=(1- po , po) игрока A. Ордината наивысшей точки нижней огибающей равна цене игры V.

5. Верхний из концов нижней огибающей, лежащих на перпендикулярах, есть нижняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. a.Нижний из верхних концов отрезковa1j, a2j, j=1,...,n, есть верхняя цена игры в чистых стратегиях b.

6. Элемент платежной матрицы, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока B, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Пример 4. Графически решить игру:

Действуя по алгоритму геометрического нахождения игры 2×N (рисунок 3.2), находим, что цена игры V=3,5, нижняя цена игры: a=2, верхняя цена игры: b=4, оптимальная стратегия игрока A: Po=(1/2,1/2).

Рисунок 3.2

 

Алгоритм геометрического решения игры М×2

1. Откладываем горизонтальный отрезок [0,1], каждая точка которого

соответствует смешанной стратегии игрока B. В концах этого отрезка проводим два перпендикуляра. Левый соответствует чистой стратегии B1, правый - чистой стратегии B2игрока B.

2. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с горизонтальным отрезком откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первого столбца платежной матрицы. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второго столбца платежной матрицы. При этом масштабы на обоих перпендикулярах должны быть одинаковые, но не обязательно совпадающие с масштабом отрезка [0,1].

3. Каждую пару точек, изображающих элементы ai1, ai2, i=1...m, стоящих в i-той строке платежной матрицы, соединяем отрезком ai1, ai2 . Таким образом будут построены m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций, зависящих от вероятности q: H(Ai,Q)=(ai2-ai1)q+ai1, i=1...m, q Î[0,1].

4. Находим верхнюю огибающую семейства построенных отрезков ai1, ai2 , представляющую собой выпуклую вниз ломаную. Затем находим минимальную точку верхней огибающей. Абсцисса qo этой точки определяет оптимальную смешанную стратегию Qo=(1-qo,qo) игрока B. Ордината наинизшей точки верхней огибающей равна цене игры V.

5. Верхний из нижних концов отрезков ai1, ai2 есть нижняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. a. Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. b.

6. Элемент платежной матрицы, изображающая точка которого является нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхней на перпендикуляре,на котором она лежит, будет седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока A, номер которой совпадает с первым индексом седловой точки, является оптимальной.

Пример 5. Графически решить игру:

Действуя по алгоритму геометрического нахождения игры М×2

(рисунок 3.3), находим, что цена игры V=4, нижняя цена игры: a=3, верхняя цена игры: b=5, оптимальная стратегия игрока B: Qo=(2/3, 1/3).

Рисунок 3.3

Пример 9. Решить графически игру, заданную платежной матрицей:

Нижняя цена игры равна а11=1,5. Верхняя цена игры равна а21=2, седловая точка отсутствует.

Для игрока А решение представлено на рис. 3.4. Точка N определяет оптимальную стратегию, а ордината - цену игры v. Найдем точку пересечения соответствующих прямых:

v = 1,5p1 + 2(1 – p1)

v = 3p1 + 1(1 – p1)

1,5p1 +2(1–p1) = 3p1 + 1 (1–p1)

2,5p1=1, p1=0,4, p2=0,6, v=1,8.

Получаем N(0,6; 1,8).

Рис. 3.4. Решение матричной игры для игрока А

 

Следовательно, оптимальная стратегия игрока А заключается в выборе стратегии А1 с вероятностью 0,6 и стратегии А2 с вероятностью 0,4. При этом цена игры v = 1,8.

Для игрока В решение представлено на рис. 3.5. Находя точку пересечения соответствующих прямых, получаем М(0,2; 1,8).

Рис. 3.5. Решение матричной игры для игрока В

 

Следовательно, оптимальная стратегия игрока В заключается в выборе стратегии В1 с вероятностью 0,8 и стратегии В2 с вероятностью
0,2 = 1 – 0,8. При этом цена игры v = 1,8.

Оптимальное решение игры найдено.

Пример 10. Найти решение игры, заданной матрицей

Проверим наличие седловой точки

Так как , седловой точки нет. Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока А.

 

Ломанная изображает верхнюю границу выигрыша игрока А. На нем определяем К с минимальной ординатой, которая и есть цена игры . Оптимальные стратегии для игрока А – вторая и третья.

Матрица оптимальных стратегий имеет вид

 

По формулам

, ,

, ,

Находим

, ,

,

Следовательно, решение игры таково:

, ,

Пример 11. Решить матричную игру

 

-3
-2 -6

 

 

Решение. Проверим наличие седловой точки

 

 

Здесь – седловой точки нет.

Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока В.

 

Ломаная соответствует нижней границе выигрыша. На ней определяем точку К с максимальной ординатой, которая и есть цена игры . Оптимальные стратегии для игрока В – первая и четвертая.

Матрица оптимальных стратегий имеет вид

По формулам

, ,

, ,

находим

,

,

При этом









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.