Следовательно, решение игры таково
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Следовательно, решение игры таково





, , .

 

Пример 12. Решить игру, заданную матрицей

Решение. Проверим наличие седловой точки

 

т.к. 3=3 задача с седловой точкой.

Оптимальной для первого игрока является 2-ая стратегия, для второго игрока 1-ая. При этом выигрыш первого игрока не менее 3, проигрыш второго игрока не более 3.

Ответ: , .

Задача для самостоятельной работы 2.Найтирешение игры геометрическим способом, где платежная матрица игры: .

Задача для самостоятельной работы 3.Найтирешение игры геометрическим способом, где платежная матрица игры: .

Игры с природой

В отличие от антагонистических игр, в которых каждый из игроков предполагал, что его противник действует осознанно, выбирая стратегии, наиболее выгодные для себя и наименее выгодные для противника, в играх с природой сознательного целенаправленного противодействия противника нет. Игроку, принимающему решение, не хватает информации об объективных условиях, в которых будет приниматься решение. Например, в экономической практике неопределенность может порождаться такими причинами: покупательский спрос на товар, курс валюты, уровень инфляции, экологическая обстановка и т.д.

Объективную действительность, от которой зависит выбор решения, называют "природой". Природа является вторым игроком, но не противодействует первому игроку - игроку A. Она принимает неопределенным образом какое-то из своих состояний, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры. В игре с природой осознанно действует только игрок A, которого также называют статистиком, а теорию игр с природой - теорией статистических решений.

Исследование игр с природой необходимо начинать с построения платежной матрицы, что является преимущественно трудоемким и ответственным этапом при принятии решений, так как погрешности, допущенные при формировании платежной матрицы, не могут быть восполнены никакими вычислительными методами. Предположим, что игрок А имеет m допустимых стратегий 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑚̅̅, а природа Q может пребывать в одном из n вероятных состояний 𝑄𝑗 , j=1̅̅̅,̅𝑛̅ , которые допустимо рассматривать как ее «стратегии». В представленном случае матрицу игры с природой можем представить в виде, схожей платежной матрице матричной игры, как 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}𝑚×𝑛 , где 𝑎𝑖𝑗 - выигрыш игрока А при выборе им стратегии 𝐴𝑖 и при состоянии природы 𝑄𝑗 . Матрица игры с природой обстоятельно отличается от платежной матрицы антагонистической матричной игры тем, что элементы столбцов матрицы (1) не являются поражениями природы при соответствующих ее состояниях, то есть выигрыши 𝑎𝑖𝑗 платит не природа, а некая «третья сторона», или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком



В игре с природой равным образом можно доминировать (мажорировать) стратегии, что может позволить снизить размерность платежной матрицы. К примеру, в игре матрицей размерностью 5 × 5 :

 

 

стратегия 𝐴5 доминирует стратегии 𝐴1 и 𝐴3 , вследствии этого их можно «удалить». Таким образом размерность матрицы игры будет равна 3 × 5 :

количество строк в которой на две строки меньше, чем в первоначальной матрице. Таким образом, и в играх с природой имеется возможность пользоваться принципом доминирования стратегий игрока 𝐴 (строк матрицы игры). Тем не менее, этот принцип неприемлем для второго игрока-природы, ввиду того, что природа не стремится к выигрышу в игре, а действует неосознанно. Так, например, в последней матрице пятый столбец (𝑄5) доминирует первый, второй и третий столбцы (𝑄1,𝑄2 и 𝑄3). Благодаря этому в матричной игре эти столбцы можно было бы удалить. Но в игре природой этого делать нельзя. Этот фактор является еще одним свойством, различающий игры с природой от матричных игр.

При выборе оптимальной стратегии в игре с природой игрок A должен опираться не только на матрицу выигрышей, но и на так называемую матрицу рисков, которая характеризует степень удачности применения игроком A стратегии Ai при состоянии природы Пj . Чтобы определить, как она формируется, введем следующие понятия:

1. Показателем благоприятности состояния природы Пj называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент в j-м столбце платежной матрицы: bj = , j =1,...,n.

2. Риском rij при выборе им стратегии Ai при состоянии природы Пj называется разность между показателем благоприятности bj природы и выигрышем aij, который получит игрок A, выбрав стратегию Ai :

rij = bj - aij , i=1...m, j=1,...,n.

Таким образом, риск rij представляет собой упущенную возможность максимального выигрыша bj при состоянии природы Пj или плату за отсутствие информации. Очевидно, что rij ≥ 0.

Матрица рисков RA имеет ту же размерность и вид, что и платежная матрица игры, но вместо элементов aij на соответствующих местах стоят элементы rij . Причем матрица выигрышей однозначно порождает матрицу рисков. Обратное не верно.

Матрица рисков RA позволяет увидеть, что одинаковые выигрыши при одной и той же стратегии Ai и различных состояниях природы могут быть неравноценными в смысле рисков. Но одинаковые выигрыши при разных стратегиях игрока A на одном и том же состоянии природы Пj всегда равноценны.

Если известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из своих возможных состояний, либо эти вероятности определяются на основе анализа экспертов, то говорят о принятии решения в условиях риска. Если же эти вероятности неизвестны и нет никакой возможности их определить, то говорят о принятии решения в условиях полной неопределенности.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.