|
|
Прямая и обратная пропорциональностиЕсли t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4 t. Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4 t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом. Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k - не равное нулю действительное число. Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае y / x = k (k ≠ 0). Это число называют коэффициентом пропорциональности. Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2 х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2. Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики. 1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел. 2. Например, чтобы построить график функции у = 2х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 89). 3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения; при k < 0 - убывает на всей области определения. 4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2), - пары соответственных значений переменных x и у, причем x2 ≠ 0, то x1/x2 = y1/y2 Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2 = kх2. Так как при х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то у2 ≠ 0. Поэтому y1/y2 = kx1/kx2 = x1/x2 Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины. Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью? Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность - k, то получим, что y/x = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность. Решить задачу можно двумя арифметическими способами: 1 способ: 2 способ: 1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза) 2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24(ч) Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение y при условии, что у = 48. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление. Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью. Если t - время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v · t = 20 или v= 20/t. Так как каждому значению t (t ≠0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =20/t задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом. Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/x, где k – не равное нулю действительное число. Название данной функции связано с тем, что в у = k/x есть переменные x и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае xy = k (к ≠ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности. Функция у = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в x банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х · у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики. 1. Областью определения функции у = k/x и областью ее значений x является множество действительных чисел, отличных от нуля. 2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. 3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция у = k/x является убывающей на всей области определения x (рис. 90). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = k/x является возрастающей на всей области определения х (рис.91)
4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2) - пары соответственных значений переменных х и у, то x1/x2 = y1/y2. Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = k/x, и тогда у1 = k/x1, у2 = k/x2. Так как х ≠ 0, х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то y1/y2 = k/x2: k/x1 = k ·x1/ k ·x2 = x1/x2. Если значениями переменных x и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины. Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч? Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ – k, то получим, что ху = k или у = k/x, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность. Решить задачу можно двумя способами: 1 способ: 2 способ: 1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза) 2)60:20 = 3(ч) 2)6:2 = 3(ч) Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у = 60/x, нашли значение у при условии, что х = 20. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния. Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на x и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах. Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х ≤ 5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?
Упражнения 1. Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12. а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график. б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика? в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?» 2. Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6. а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график. б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика? в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?» 3. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх. Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев? 4. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. упр. 3), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь? 5. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании: а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10. б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10. Установите, являются ли эти соответствия функциями. Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х ≤ 6. Докажите, что это соответствие - функция. Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника? Покажите, что соответствие между значениями переменных x и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 ≤ х ≤ 12. Учащимся дано задание заполнить таблицу
Задает ли эта таблица функцию? Какую? Какое свойство этой функции можно проиллюстрировать при помощи данной таблицы? 9. Обоснуйте, используя определения прямой или обратной пропорциональности и их свойства, решение различными арифметическими способами следующих задач: а) С участка собрали 6 мешков картофеля по 40 кг в каждом. Этот картофель разложили в ящики по 20 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось? б) Из куска ткани длиной 24 м сшили 8 одинаковых костюмов. Сколько потребуется ткани на 32 таких же костюма? 10. Какие вспомогательные модели можно использовать на этапе поиска плана решения задач из упражнения 9, если рассматривать их в начальной школе, т.е. при условии, что дети не знают ни прямой, ни обратной пропорциональности? 11. Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами: а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч? б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы? в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго — 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м. 46. Основные выводы § 9 Рассмотрев материал данного параграфа, мы уточнили наши знания о таких понятиях, как: - числовая функция; - область определения функции; - область значений функции; - график функции; - прямая пропорциональность; - обратная пропорциональность. Вспомнили, что числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы. Выяснили, что функции могут обладать свойством монотонности, т. е. возрастать или убывать на некотором промежутке. Особо выделили свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности, поскольку их можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
Решение. Катя купила у = 2х карандашей. При построении графика функции у = 2х необходимо учесть, что переменная х обозначает количество карандашей и х ≤ 5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, графиком функции у = 2х с областью определения {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество точек, изображенных на рисунке 92. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.