Лекция 28. Уравнения с двумя переменными

1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.

2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.

3. Совокупности уравнений с двумя переменными.

Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.

Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравнение f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — множеством решений этого уравнения.

Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2 у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.

Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство

1 +2 × 5 = 12. Следовательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.

Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в верное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множество Т решений этого уравнения можно записать так:

1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений: а) х — у = 5;

2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение? Можно ли сказать, что любая пара чисел является решением данного уравнения?

3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?

4. Даны два уравнения: х + у = 9 и х — у = 1. Найдите пару чисел, которая: а) является решением первого уравнения, но не является решением второго; б) является решением второго уравнения, но не является решением первого; в) является решением и первого и второго уравнений; г) не является решением ни первого уравнения, ни второго.

Система двух уравнений с двумя переменными имеет вид:

Решением этой системы является любая пара чисел (а; b), обращающая каждое из уравнений системы в верное числовое равенство. Множество таких пар есть пересечение множества решений первого уравнения с множеством решений второго.

Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве X, если их множества решений совпадают.

х - 2у = 4, используя метод алгебраического сложения.

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2 и первое уравнение сложим со вторым, получим систему

После приведения подобных членов данная система примет вид:
Зх + 4у = 5

Решением данной системы является пара чисел х = 13/5, у = - 7/10.

Общее уравнение прямой - уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид х/а + у/b = 1, где а и b- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = кх + b, где к = tg ά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b~ ордината точки пересечения прямой с осью Оу/

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х_], у_]) и В(х₂,у₂), имеет вид

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле

Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А(6; 2) и В(-3;8).)

Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек

А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = - 2/3х + 6.

к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b =6.

Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С₂ - 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.

Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх - 4 у + 11 = 0 и 4 х - у - 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) - точка пересечения этих прямых.

Острый угол между двумя прямыми, заданными:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ - 0

вычисляется по формуле соs φ = | (А ₁ А₂ + В₁ В₂) /(√ А₁² + В₁ ² √ А₂ ² + В₂) ² |

- общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂

вычисляется по формуле tg φ = | (k ₁ - k ₂) | (1 + k ₁ × k ₂)|

Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х - 1 и у = -2х + 4.

Условие параллельности двух прямых, заданных:

-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_{х /}А ₂ = В₁/ В₂;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂= 0, имеет вид А_хА ₂ + В₁ В₂ = 0;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ k ₂ = - 1

Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и параллельной прямой 4 х - 2у + 5 = 0.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = /?²; уравнение окружности с центром в точке А{а; b) и радиусом Rимеет вид (х - а)² + {у - b)² = /?²; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах² + Ау^г + Вх + Су + О = 0.

Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной

1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

2. Совокупности неравенств с двумя переменными.

Система неравенств f ₁ (х) > g ₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) имеет вид:

Решением этой системы является всякое значение переменной х, которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство.

Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.

Неравенство |х| < а, где а >0, равносильно системе

Пример 1. Найдем множество решений системы неравенств:

Ответ: Множество решений неравенства х > —7 есть числовой промежуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х < 7 - промежуток ]— оо; 7[. Решением данной системы является промежуток ]—7; 7[.

42. СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Совокупность неравенств f ₁ (х) > g ₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде

Решением совокупности неравенств с одной переменной называется всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.

Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенство | х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:

Неравенство вида f ₁ (х): g ₁ (х) (1) > 0 или f ₁ (х) × g ₁ (х) (1) > 0 равносильно

Пример 1. Найдем множество решений совокупности

Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.

Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:

Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежуток ]2; ¥[, а множество решений неравенства х > 1 — промежуток — ]1; ¥[. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение. Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.

П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: