Точечная и интервальная оценки истинного значения измеряемой величины

При измерении, как уже говорилось ранее, невозможно определить истинное значение измеряемой величины. Можно лишь с большей или меньшей уверенностью оценить это значение, рассматривая его условно как параметр нормального распределения. Оценка истинного значения осуществляется по числу результатов n повторных измерений величины. Чем больше n, тем точнее можно оценить истинное значение. Выделяют понятия точечной и интервальной оценок.

Точечная оценка (т.е. оценка в виде числа) истинного значения величины включает в себя оценки M[Х] и s. Оценкой M[Х] является среднее арифметическое значение , его вычисляют по формуле

, (1.13)

где Х_i – результат i-го единичного измерения.

Оценкой s является среднее квадратическое отклонение s, его вычисляют по формуле

. (1.14)

Оценки, приведенные в формулах (1.13) и (1.14), являются случайными величинами. Если провести повторное измерение и по его результатам вычислить и s, то их значения будут отличаться от прежних. Повторяя измерения и вычисляя по их результатам и s, можно получить ряд значений и s, которые также являются случайными величинами и подчиняются нормальному закону распределения. Для оценки рассеяния этих распределений используют понятие среднего квадратического отклонения среднего арифметического , являющееся оценкой среднего квадратического отклонения результата измерения. Его определяют по формуле

. (1.15)

Точечные оценки используют в основном в научных исследованиях и разработках, когда проводят большое число измерений. Чем меньше число полученных результатов измерений, тем легче допустить ошибку при оценке параметров распределения. В таком случае важно определить не только M[X] и s, но и получить уверенность, что истинное значение находится в некотором доверительном интервале. Для этого проводят интервальную оценку.

Интервальная оценка истинного значения – это доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью Р находится истинное значение измеряемой величины.

Чаще выбирают Р = 0,9, 0,95 и 0,99.

Границы доверительного интервала (рис. 1.13) определяют по формуле

-e < Х_ист < + e, (1.16)

где e – это доверительная погрешность (доверительная граница случайной погрешности результата измерений).

Рис. 1.13. Доверительный интервал

Достоверность измерений (один из показателей качества результатов) зависит от степени доверия к результату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение лежит в указанных доверительных границах.

e определяет наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение Х_ист результата измерений. Причем Х_ист может быть в любом месте доверительного интервала (не обязательно в его середине), а с вероятностью 1-Р даже вне его.

При большом числе результатов измерений (n>25…30) доверительную границу случайной погрешности e вычисляют по формуле

, (1.17)

где z_р – квантиль нормального распределения (квантильный множитель), s - среднее квадратическое отклонение.

Значение квантильного множителя z_р определяют по таблице функции Лапласа при заданной доверительной вероятности Р (табл. 1.4)

Таблица 1.4

Значения квантили нормального распределения z_р

Формулу (1.17) используют для определения границ доверительного интервала, если имеется достаточно большое число результатов измерений (более 25) или если на основе предварительных опытов с достаточным числом измерений определено значение s для данного метода.

Чем меньше n, тем менее надежным является определение доверительного интервала приведенным выше способом.

При небольшом числе результатов измерений (n<25…30) используют распределение Стьюдента, и доверительную границу случайной погрешности e следует рассчитывать по формуле

(1.18)

где t_p - коэффициент Стьюдента, s – оценка среднего квадратического отклонения

Значение коэффициента Стьюдента t_p определяют при заданной доверительной вероятности Р и числе результатов измерений n по табл. 1.5.

Таблица 1.5.

Значения коэффициента Стьюдента t_P

При увеличении числа измерений (n>30) распределение Стьюдента переходит в нормальное, а z_p ® t_p.

Глава 2. СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

Одним из важнейших элементов процесса измерения, который позволяет непосредственно получать измерительную информацию, является средство измерения. Каждый день осуществляется огромное количество измерений с помощью целой «армии» разнообразных средств измерений. Их много, они могут быть простыми в использовании, как например, линейка, или представлять собой сложнейшие аппараты, требующие высококвалифицированного обслуживания, как например, радионавигационная система. Вне зависимости от сложности, назначения и принципа действия все они выполняют одну и ту же функцию – сравнивают неизвестный размер физической величины с его единицей. При этом важно, чтобы средство измерений «умело» хранить (и воспроизводить) единицу физической величины таким образом, чтобы выполнялось требование неизменности размера хранимой единицы в течение времени. Именно это «умелое хранение» отличает средства измерений от иных технических средств. Таким образом, средство измерения представляет собой техническое средство (или их комплекс), предназначенное для изме­рений, имеющее нормированные метрологические ха­рактеристики, воспроизводящее и (или) хранящее еди­ницу физической величины, размер которой принимается неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени.

Все существующее многообразие средств измерений принято классифицировать. Существует много подходов к систематизации средств измерений на основе разных классификационных признаков, наиболее значимые из которых рассмотрены в данной главе.

В зависимости от того, какие измерения осуществляет средство измерений, статические или динамические, насколько инерционно средство измерений, как измеряется частота входного сигнала, работа средства измерений может быть описана с помощью статических или динамических характеристик.

Средства измерений содержат в себе ряд структурных элементов, которые выполняют элементарные операции процесса измерения. В зависимости от того, как средство измерения, преобразует входной сигнал и представляет выходной информативный сигнал, все многообразие средств измерений может быть представлено в виде нескольких видов структурных схем, содержащих определенные функциональные блоки.

Многообразие средств измерений заставляет принимать соответствующие меры для обеспечения единства измерений. Важнейшими свойствами средств измерений являются те, от которых зависит качество (точность) получаемой с их помощью измерительной информации. Эти свойства определяются метрологическими характеристиками средств измерений. Их определяют и нормируют для каждого типа средств измерений. Каждая нормируемая характеристика отражает конкретное свойство средства измерения и может быть проконтролирована.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: