Задача о разбиении множества элементов .

Первичные данные, сведенные в таблицу ”Объект-свойство”, часто бывают необозримыми, и непосредственно формирование отношений между объектами практически невозможно. Определение связей между объектами сильно облегчается, если исходное множество всех объектов удается описать более кратким способом, чем перечисление всех объектов со всеми их свойствами. Наиболее распространенный способ сокращения описания связан с разделением множества М объектов таблицы на небольшое число групп, связанных друг с другом каким-нибудь закономерным свойством. Обычно в качестве такого свойства используется ”похожесть” объектов одной группы. Закономерности ”групповой похожести ”позволяют намного сократить описание таблиц ”Объект-свойство” при малой потере информации. Вместо перечисления всех объектов можно дать список “типичных” или “эталонных” представителей групп, указать номера (имена) объектов, входящих в состав каждой группы. При небольшом числе групп описание данных становится обозримым и легко интерпретируемым.

В работе такая группировка делается с помощью построения кратчайшего остовного дерева. Алгоритмы разбиения отличаются друг от друга процедурой группировки и критерием качества разбиения множества. Введем некоторые обозначения. Пусть данные таблицы Т, подлежащие разбиению, содержат М объектов (а_1,а_2,..,а_M),имеющих N свойств(x_1,x_2,…,x_N), и требуется выявить К классов(S_1,S_2,…,S_K), 1<K<N-1. Различные варианты разбиения объектов на К классов будем сравнивать по некоторому критерию качества разбиения F. Если свойства объекта представить себе в виде координат метрического пространства, то каждый объект со своими значениями свойств будет отображаться в некоторую точку этого пространства. Два объекта с почти одинаковыми значениями свойств отобразятся в две близкие точки, а объекты с сильно отличающимися свойствами будут представлены далекими друг от друга точками. Если имеются сгустки точек, отделенные промежутками от других сгустков, то их целесообразно выделить в отдельные структурные части множества - классы. В дальнейшем можно аппроксимировать сгустки каким-либо известным законом распределения. Можно также указать границы класса, описав их геометрические параметры (например, задав систему уравнений разделяющих гиперплоскостей). По этим описаниям можно узнать, какому классу принадлежит любой объект как изучаемой конечной выборки, так и любого нового объекта из генеральной совокупности.

В основу алгоритма разбиения положен метод разрезания кратчайшего остовного дерева. Если задано число классов К, то путем удаления (К-1) ребра, обеспечивающего оптимальное значение функции качества, производится разбиение на классы. В работе в качестве критерия разбиения множества элементов принято условие: суммарная дисперсия во всех классах должна быть минимальной.

Графовое представление связей между объектами

Множество самых разнообразных задач естественно формулируется в терминах точек и связей между ними, т.е. в терминах графов. Поэтому эффективные алгоритмы решения задач теории графов имеют большое практическое применение.

Связи могут быть «направленными», как, например, в генеалогическом дереве или в сети дорог с односторонним движением. В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные и неориентированные.

Наиболее известный и популярный способ представления графов состоит в геометрическом изображении точек (вершин) и линий (ребер) на бумаге. При численном решении задач на вычислительных машинах граф должен быть представлен дискретным способом. Существует довольно много способов такого рода представления графов. Однако простота использования представления графа, как и эффективность алгоритма, в основе которого он лежит, в полной мере зависит от конкретного выбора этого представления. Одно из направлений теории графов связано с их матричным представлением. Существуют различные виды матриц, ассоциированные с графами. Эти алгебраические формы используются для решения многих задач теории графов.

Матрицей смежности ориентированного помеченного графа с n вершинами называется матрица A=[a_ij], i,j=1,2…n, в которой:

a_ij= m, если существует m ребер (x_i, x_j),

0, если вершины x_i, x_j не связаны ребром (x_i, x_j).

Матрица смежности однозначно определяет структуру графа.

Граф называется взвешенным, если с каждым его ребром сопоставлено число. Простой взвешенный граф может быть представлен своей матрицей весов W=[w_ij], где w_ij – вес ребра, соединяющего вершины i, j =1,2..n. Веса несуществующих ребер полагают равными ¥. Матрица весов является простым обобщением матрицы смежности.

При описании графа списком его ребер каждое ребро представляется парой его вершин. Это представление можно реализовать двумя массивами r=(r₁, r₂,…, r_n) и t=(t₁, t₂,…, t_n), где n - количество вершин в графе. Ребро L_i,j графа выходит из вершины ri и входит в вершину tj. Здесь L - характеристика ребра, например вес ребра.

Деревом называется неориентированный граф, не имеющий циклов и изолированных вершин. Минимальным (кратчайшим) остовным деревом называется остовное дерево с минимальным общим весом его ребер.

Построение кратчайшего остовного дерева

Алгоритм Прима в табличной форме

По заданному графу заполняется матрица весов W(N, N). Веса несуществующих ребер предполагаются сколь угодно большими. Образуется массив P(N) меток вершин графа (столбцов матрицы весов). Алгоритм решения задачи заключается в последовательном заполнении массива меток столбцов и состоит из следующих этапов.

Предварительный этап. Обнуляется массив P(N) меток столбцов таблицы. Произвольно выбранному столбцу присваивается значение метки, равной его номеру.

Этап, повторяющийся N-1 раз (общий этап). В строках, номера которых равны номерам помеченных столбцов, находится минимальный элемент среди элементов непомеченных столбцов. Столбец, в котором находится минимальный элемент, помечается меткой, номер которой равен номеру его строки. В случае, если минимальных элементов несколько, то выбирается любой. После того, как будет помечен очередной столбец, элементу, симметричному относительно главной диагонали (для многомерного графа - с ”транспонированными индексами”), присваивается сколь угодно большое значение.

Заключительный этап. Ребра, включенные в минимальное остовное дерево, определяются по меткам столбцов. Вес остовного дерева задается суммой весов входящих в него ребер.

Литература

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

3.Математические методы обработки и интерпретации результатов тестовых экспериментов. Практикум/РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, РГМУ, 2005. – 31с.

Дополнительная:

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов –М:Юнити,1998,-1022с

2. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс: СПб.Лань,2002.-960 c.

3. Гласс Дж, Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии.-М:Прогресс,1976,-496c.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: