Пересечение плоскости с поверхностью многогранника

Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны — линиями пересечения граней с секущей плоскостью.

Таким образом, построение сечения многогранника плоскостьюсводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью илик определению линии пересечения плоскостей.

Плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью, называется сечением. Построение сечений значительно упрощается, если один из пересекающихся элементов (секущая плоскость или пересекаемая поверхность) занимают проецирующее положение и одна проекция сечения известна.

На рис. 138 показано сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фронтальная проекция A ” сечения совпадает с фронтальным следом P_Vсекущей плоскости. Проведя линии связи до горизонтальных проекций соответствующих ребер многогранника, получим горизонтальную проекцию сечения А'B'C'.

На рис. 139 показано сечение прямой четырехугольной призмы плоскостью общего положения. Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми — горизонталью и фронталью. Боковые грани призмы — горизонтально-проецирующие плоскости. Следовательно, горизонтальная проекция сечения известна, она совпадает с горизонтальной проекцией боковых граней и ребер призмы.

Для построения фронтальной проекции сечения необходимо спроецировать точки 1', 2', 3' и 4', принадлежащие секущей плоскости, на фронтальную проекцию. Воспользуемся какой-либо линией уровня, например фронталью. Проводим через точки 1', 2', 3' и 4' горизонтальные проекции фронталей, а затем строим их фронтальные проекции. В пересечении с соответствующими фронтальными проекциями ребер получим искомые проекции точек пересечения ребер с плоскостью. Соединив полученные точки прямыми в последовательности, которая задана горизонтальной проекцией и определив невидимые участки сечения, закончим построение.

Пересечение плоскостью поверхности вращения

Линия пересечения кривой поверхности плоскостью представляет собой плоскую кривую линию (сечение), для построения которой необходимо определить отдельные точки сечения и соединить и последовательно плавной кривой.

Построение точек сечения поверхности вращения, как правило, начинают с определения опорных точек. К ним относятся следующие точки: высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная, точки видимости и др.

Остальные точки (промежуточные) находятся либо по линиям связи, т.е. без дополнительных построений, либо с применением вспомогательных секущих плоскостей.

Пример 1. На рис. 140 даны поверхность вращения и фронтальнопроецирующая плоскость Р. Построить проекции и истинный вид сечения поверхности плоскостью.

Сначала находим опорные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных ее точек. Опорными точками являются:

точки 1 и 2 — точки встречи главного меридиана с плоскостью Р (одновременно это высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая точки сечения);

точки 3 и 4 — точки встречи экватора с плоскостью Р (ближайшая и наиболее удаленная точки сечения).

Указанные точки являются также точками границ видимости линии сечения соответственно на фронтальной и на горизонтальной проекции.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂,b₃), каждая из которых пересекает поверхность вращения по окружности соответствующего радиуса, а плоскость Р — по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.

На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся следующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола. Простейшим коническим сечением является точка.

Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых они получаются, на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141:

1) точка S, когда плоскость a пересекает только вершину конуса (рис. 141а);

2) окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б);

3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной к поверхности конуса (рис. 141в);

4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину (рис.);

5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса

и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).

Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозначим половину угла при вершине конуса через j, а угол наклона секущей плоскости к оси конуса — через y. Тогда

Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки А и В. Отрезок А”В” — фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения).

Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”º D ” спроецируется малая ось эллипса, перпендикулярная к плоскости проекций V.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂,b₃), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость a — по горизонтали, перпендикулярной плоскости V.

Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плоскостей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигуры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей плоскости a, и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с горизонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса, параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).

6) Парабола, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в этом случае y угол между плоскостью и осью конуса равен углу j между образующей и осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом a₁секущей плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость a -- по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V. В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получаем точки D ', E', J ', K '. Горизонтальную проекцию A ' вершины параболы, а также горизонтальные проекции B ' и C ' точек, принадлежащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, проводя линии из точек A '' и B ''º C '' (рис. 143).

Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эллипса (рис. 143).

7) Гипербола, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом случае угол j равен нулю.

Так как секущая плоскость a - профильная плоскость, фронтальная и горизонтальная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A '' и P'' являются фронтальными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A 'º P' определяются по линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей (b₁,b₂).

Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H путем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плоскость a, ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гиперболы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).

1) 1.В чем состоит последовательный ход построения фигуры сечения многогранника плоскостью?

2) В чем заключается общий прием нахождения точек линии пересечения поверхности вращения плоскостью?

3) Какие точки линии пересечения называются опорными?

4) Как строятся проекции промежуточных точек линии пересечения?

5) При каких условиях получаются в сечении конуса эллипс, парабола, гипербола?

6) Какие плоскости обычно применяются в качестве вспомогательных при построении фигур плоских сечении?

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: