Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Зависимые и независимые события





Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

или (2.4)

Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие Æ, а вероятность его равна нулю. Следовательно, для несовместных событий правило сложения вероятностей принимает следующий вид:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для несовместных событий A, B:  
или (2.5)
   

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть:

P(A1+A2+A3+...+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...P(An )

или

  (2.6)

 

 

В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.

 
 

 

     
A AB B
     
  ABC  
AC C CB

 

Рис. 2.3

 

Для случая трех совместных событий можно записать:

 

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

 

Сумма вероятностей событий А1, А2, А3,..., Аn, образующих полную группу, равна 1, то есть:

P(A1) + P(A2) + P(A3) +... + P(An) = 1

или

(2.7)

 

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) × P(B),  
P(A B) = P(A) × P(B) (2.8)

 

 

или

События А1, А2,..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

P(A1 ×A2 × A3 ×…× An) = P(A1) × P(A2) × P(A3) ×…× P(An) (2.9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

  Р(АВ) = P(B) × Р(А/В) (2.10)  
  Р(А В) = P(B) × Р(А/В)  
  или Р(АВ) = P(A)×Р(В/А)  
  Р(А В) = Р(A)×(В/А)  
Вероятность события В при условии появления события А:  
P(B/A) = или P(B/A) = (2.11)
.  
         

 

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

P(A1 × A2 × A3 ×... ×Аn) = Р(A1) × P(A2 / A1) ×P(A3 / A1 × A2).×... ×P(An / A1 × A2 × A3 ×…× An-1) (2.12)  

Если события А1, А2,... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:

(2.13)


Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:

(2.14)


Тема 3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И

БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными ( послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

 

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

 

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H1), P(H2),…P(Hi),…P(Hn). Так как события Hi образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H1), P(A/H2), …P(A/Hi)…, P(A/Hn), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий Hi произойдет событие А, то события Hi называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

(3.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью.

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2,..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

 

или (3.2)

 

 

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

 








Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.