|
Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменнойСтр 1 из 3Следующая ⇒ Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной Задача о скорости движущейся точки Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. Обозначим через путь, пройденный точкой за время , а через путь, пройденный за время . Тогда за время точка пройдет путь , равный: . Отношение называется средней скоростью точки за время от до . Чем меньше , т.е. чем короче промежуток времени от до , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени . Поэтому естественно ввести понятие скорости в данный момент , определив ее как предел средней скорости за промежуток от до , когда : . Величина называется мгновенной скоростью точки в данный момент . Задача о касательной к данной кривой Пусть на плоскости задана непрерывная кривая уравнением . Требуется провести невертикальную касательную к данной кривой в точке . Так как точка касания дана, то для решения задачи требуется найти угловой коэффициент касательной. Из геометрии известно, что , где – угол наклона касательной к положительному направлению оси (см. рис.). Через точки и проведем секущую , где – угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Из рисунка видно, что , где . Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке может быть найден на основании следующего определения. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка стремится к точке . Отсюда следует, что . Определение производной Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше задач, одна и та же. Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от вызвавших ее конкретных вопросов. Пусть функция определена на некотором промежутке. Возьмем значение из этого промежутка. Придадим какое-нибудь приращение (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции , где . Составим отношение , оно является функцией от . Производной функции по переменной в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента , когда произвольным образом: . Замечание. Считается, что производная функции в точке существует, если предел в правой части формулы существует и конечен и не зависит от того, как приращение переменной стремится к 0 (слева или справа). Процесс нахождения производной функции называется ее дифференцированием. Нахождение производных некоторых функций по определению а) Производная постоянной. Пусть , где – постоянная, т.к. значения этой функции при всех одинаковы, то ее приращение равно нулю и, следовательно, . Итак, производная постоянной равна нулю, т.е. . б) Производная функции . Составим приращение функции: . При нахождении производной использовали свойство предела произведения функций, первый замечательный предел и непрерывность функции . Таким образом, . Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Придадим аргументу произвольное приращение . Тогда функция получит приращение . Запишем равенство и перейдем к пределу в левой и правой частях при : Поскольку у непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то теорему можно считать доказанной. Замечание. Обратное утверждение не имеет места, т.е. из непрерывности функции в точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость в этой точке. Например, функция непрерывна при всех , но она не дифференцируема в точке . Действительно: Предел бесконечен, значит, функция не дифференцируема в точке . Таблица производных элементарных функций Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций: Приведем примеры нахождения производных. 1) . 2) Производная сложной функции Пусть . Тогда функция будет сложной функцией от x. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в точке u, то тоже дифференцируема в точке x, причем . Примеры. 1. Полагаем , тогда . Следовательно . При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно. 2. . Дифференциал К графику непрерывной функции в точке проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как , то из треугольника MEF следует, что . Введем обозначение . Это выражение называется дифференциалом функции . Итак . Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим . Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной. Из последней формулы следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента. Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента D х. Из рисунка видно, что при достаточно малом D х по абсолютной величине можно взять приращение функции приближенно равным ее дифференциалу, т.е. . Рассмотрим сложную функцию , где , причем дифференцируема по u, а – по х. По правилу дифференцирования сложной функции . Умножим это равенство на dx: Так как (по определению дифференциала), то или Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной. Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала. Пример. . Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов. Пусть – дифференцируемы в точке х. Тогда Докажем второе правило. Производная неявной функции Пусть дано уравнение вида , связывающее переменные и . Если нельзя явно выразить через , (разрешить относительно ) то такая функция называется неявно заданной. Чтобы найти производную от такой функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по , считая функцией от . Из полученного нового уравнения найти . Пример. . Дифференцируем обе части уравнения по , помня, что есть функция от Лекция 4. Производная и дифференциал функции одной переменной Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|