|
|
Механический и геометрический смысл производной ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Обращаясь к рассмотренным ранее задачам, приводящим к понятию производной, можно сформулировать следующие утверждения. 1) Скорость 2) Угловой коэффициент невертикальной касательной к непрерывной кривой Известно, что уравнение прямой, проходящей через точку
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением
Пример. Написать уравнения касательной и нормали к кривой Так как
Уравнение нормали Общие правила дифференцирования Производные любых функций можно найти непосредственно по определению, как показано в п.4.4. Однако каждый раз делать это весьма затруднительно, поэтому для дифференцирования произвольных функций можно воспользоваться таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования. Пусть функции
Для примера выведем правило дифференцирования произведения двух функций. Пусть
Таким образом,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной. Таблица производных элементарных функций
Замечание. Напомним свойства степеней и корней, используемые при дифференцировании функций:
Приведем примеры нахождения производных. 1)
2)
Производная сложной функции Пусть Если функция
Примеры. 1. Полагаем
При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно. 2.
Логарифмическое дифференцирование Показательно-степенной функцией называется функция вида Для нахождения производной такой функции ее сначала логарифмируют, а затем дифференцируют полученное равенство. Логарифмическое дифференцирование применяется также для функций, состоящих из большого числа сомножителей или являющихся отношением произведений нескольких функций. Примеры. 1. Найти производную функции
2. Найти производную функции
Замечание. При решении применялись следующие свойства логарифмов:
Дифференциал
К графику непрерывной функции
Введем обозначение
Это выражение называется дифференциалом функции
Замечая, что
Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной. Из последней формулы следует, что Дифференциал функции dy геометрически представляет собой приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента D х. Из рисунка видно, что при достаточно малом D х по абсолютной величине можно взять приращение функции
Рассмотрим сложную функцию
Умножим это равенство на dx:
Так как
Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, если бы переменная u была не промежуточным аргументом, а независимой переменной. Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменяемостью) формы дифференциала. Пример.
Все правила дифференцирования можно записать для дифференциалов. Пусть
Докажем второе правило.
  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
прямолинейного движения точки есть производная пути 
по времени 
: 
. Это механический смысл производной. Поэтому производную любой функции называют скоростью изменения этой функции.
в точке с абсциссой 
есть производная 
, т.е. 
. Это геометрический смысл производной.
с угловым коэффициентом 
имеет вид: 
. С учетом этой формулы уравнение касательной к кривой 
, откуда 
. Следовательно, если 
, то уравнение нормали к кривой 
в точке 
.
в точке 
.
, то угловой коэффициент касательной в указанной точке 
. Следовательно, уравнение касательной
.
.
и 
дифференцируемы в точке 
. Тогда их сумма, разность, произведение и частное 
также дифференцируемы в точке 
. Придадим аргументу 
, тогда в результате этого функции 
получат соответственно приращения 
:
. При выводе использовано условие дифференцируемости, а, следовательно, и непрерывности функции 
, в силу чего 
. В частности, из доказанной формулы вытекает правило:
.
. Тогда функция 
будет сложной функцией от x.
дифференцируема в точке u, то 
.
, тогда 
. Следовательно
.
.
, где 
, 
– дифференцируемые функции и 
.
.
.
.
;
;
.
проведем касательную MT, обозначив через j ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. Так как 
, то из треугольника MEF следует, что
.
.
.
, т.е. что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, получим
.
, т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.
приближенно равным ее дифференциалу, т.е.
.
.
(по определению дифференциала), то
или 
.
– дифференцируемы в точке х. Тогда
