Лекция 7. Действительные числа

Лекция 7. Действительные числа

7.1.Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Окрестности

7.2.Модуль вещественного числа

7.3.Ограниченные и неограниченные множества. Конечные и бесконечные множества

7.4.Натуральные числа

7.5.Аксиома индукции и следствие из нее. Метод математической индукции

7.6.Принцип Архимеда. Усиленный принцип Архимеда

7.7. Лемма Бореля о покрытии

7.8. Теорема о вложенных промежутках

7.9. Открытые и замкнутые множества

Литература

А.В.Дорофеева «Высшая математика» Глава IV, § 4.1 – 4.4 стр.71-82

Дополнительно

Р.Курант, Г.Роббинс «Что такое математика?» Глава I «Натуральные числа» стр. 25-44, дополнение к главе I «Теория чисел» стр.45-76, глава II Математическая числовая система стр. 77-98

Контрольные задания

1.Как определяются элементы множества действительных чисел?

2.Дайте различные варианты определения модуля вещественного числа

3.Дайте определение инфинума (нижней грани) числового множества

4.Докажите, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

5.Как строится множество натуральных чисел?

6Докажите, что множество натуральных чисел не ограничено сверху

7.Методом математической индукции докажите

8.Сформулируйте определение ограниченного снизу множества и нижней границы, приведите примеры

9.Сформулируйте и докажите теорему Принцип Архимеда

10.Сформулируйте и докажите теорему Усиленный принцип Архимеда (включая доказательство второго случая для x<0).

Определение 7.1.

Множество элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент — действительным числом.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет условиям I-V.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой (см.рис. 7.1.(2))

Рис. 7.1. (2)

Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа — ее точками. В связи с этим иногда вместо а < b (соответственно вместо b > а) говорят, что точка а лежит левее точки b (точка b лежит правее точки а).

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через +∞ и — ∞ и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая при этом по определению, что для любого числа х R. выполняется неравенство -∞< х < +∞.

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и —∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается

Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом ∞ (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность ∞ уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +∞, ∞и ∞ называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Сформулируем определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой R. Пусть a , b , а ≤b. Множество

[а, b] = {х: х , а ≤x≤b}

называется отрезком, множество

(a,b) = {х: х , а < х < b}

— интервалом, множества

[а, b) = {х: х , а ≤ х < b},

(а,b] = {х: х , а < х ≤b}

— полуинтервалами, а все они — промежутками расширенной числовой оси. Точки а и b называются концами этих промежутков, а точки х такие, что а < х < b, — их внутренними точками. Если а и b — числа, а ≤b, то число b — а называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.

Определение 7.1(2).

U(a, ε) = (a - ε, a + ε) (см рис.7.1(3)

Рис. 7.1(3).

Модуль вещественного числа

Определение 7.2.

Модулем действительного числа х называется такое неотрицательное число, обозначающееся |x|, такое, что:

Например, |6|=6, 6≥0, |-7| = -(-7)=+7, -7<0

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |x| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета 0 до соответствующей точки А с абсциссой х: |x|=OA (см.рис. 4.2(1))

Рис.7.2(1).

Наконец, модуль вещественного числа х можно определить следующим образом:

|x| = max {x, -x}.

где max{a,b} – наибольшее из чисел a и b

Например, |2| = max {2, -2}=2,

|-9| = max {-9, -(-9))} = max{-9, 9} = 9.

Если модуль числа х удовлетворяет неравенству

(см. рис.7.2(2))

Рис.4.2.(2)

Замечание 7.2(1).

Замечание 7.2(2).

Таким же образом определяется функция модуль y=F(x)=|x|

То есть в части x≥0 график функции совпадает с графиком y=x, а при x<0 с y=-x, то есть график y=x в этой части отражается относительно оси x

Натуральные числа

Определение 4.4.

Числа вида

2 = 1+1

3 = 2+1

и т.д.

называются натуральными и их множество обозначается N

Аксиома индукции

Пусть Е – некоторое непустое подмножество множеств натуральных чисел. Тогда в множестве Е есть наименьший элемент.

Замечание 7.5.

Может произойти так, что в последовательности Р(1), Р(2),…P(k),… первым истинным является не первое, а некоторое j-е. Тогда принцип индукции можно сформулировать следующим образом:

1)P(j) истинно (база индукции)

2)Для произвольного k≥j, если P(k) истинно, то истинно P(k+1)

Тогда P(n) истинно для всех n ≥j

То есть не обязательно начинать рассмотрение с к=1 (хотя чаще всего начинают как раз с к=0 или 1).

Пример 7.5.

Используя принцип индукции для целых чисел, нужно доказать, что для любого целого числа n ≥ 4 имеет место неравенство n! > 2ⁿ.

При использовании индукции по n, в данном случае нельзя начинать с n = 1, поскольку утверждение для n=1 неверно. Начальной точкой должно быть n = 4, т.к. утверждение неверно также для n = 2 и n = 3.

Таким образом, база индукции рассматривается для первого утверждения, соответствующего n=4

Р(n) — утверждение "n! > 2ⁿ".

Сначала докажем утверждение для n = 4. При n = 4 имеем 4! = 24 и

2⁴ = 16, так что 4! > 2⁴.

Индукционный переход:

По индуктивному предположению имеем k!> 2^k. Нам нужно доказать, что (k+1)> 2^k+1 метим, что желаемый результат можно получить, если умножить левую часть неравенства на (k+ 1), а правую — на 2. Поэтому, если мы покажем, что (k+1)>2, то получим k!> 2^k и (k+1) > 2 и сможем сделать вывод, что (k+1)!> 2^k+1. Поскольку k ≥ 4, то k > 2. Следовательно, (k+1)k! > 2 · 2k и (k+1)!> 2^k+1. Таким образом, n! > 2n для каждого n > 4.

Принцип Архимеда

Теорема 7.6(1)

Каково бы ни было действительное число а, существует такое натуральное число n, что

n > а.

Доказательство

Если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число а, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n≤а, т. е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда существовала бы конечная верхняя грань:

Поскольку β — 1 < β, то в силу определения верхней грани (найдется такое натуральное число n, что n > β — 1, т. е. n + 1 > β, но n + 1 — также натуральное число: /, поэтому данное неравенство противоречит условию существования верхней грани.

Замечание 7.6

Пусть а=1, тогда для любого действительного х существует единственное целое n такое, что n≤ x< n+1.

n=[x] называется целой частью вещественного числа х (см график соответствующей функции на рис. 7.6(1)

{x} = х – [x] называется дробной частью вещественного числа х (график см. на рис.7.6(2))

Рис.7.6(1) Рис. 7.6(2)

Лекция 7. Действительные числа

7.1.Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Окрестности

7.2.Модуль вещественного числа

7.3.Ограниченные и неограниченные множества. Конечные и бесконечные множества

7.4.Натуральные числа

7.5.Аксиома индукции и следствие из нее. Метод математической индукции

7.6.Принцип Архимеда. Усиленный принцип Архимеда

7.7. Лемма Бореля о покрытии

7.8. Теорема о вложенных промежутках

7.9. Открытые и замкнутые множества

Литература

А.В.Дорофеева «Высшая математика» Глава IV, § 4.1 – 4.4 стр.71-82

Дополнительно

Р.Курант, Г.Роббинс «Что такое математика?» Глава I «Натуральные числа» стр. 25-44, дополнение к главе I «Теория чисел» стр.45-76, глава II Математическая числовая система стр. 77-98

Контрольные задания

1.Как определяются элементы множества действительных чисел?

2.Дайте различные варианты определения модуля вещественного числа

3.Дайте определение инфинума (нижней грани) числового множества

4.Докажите, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

5.Как строится множество натуральных чисел?

6Докажите, что множество натуральных чисел не ограничено сверху

7.Методом математической индукции докажите

8.Сформулируйте определение ограниченного снизу множества и нижней границы, приведите примеры

9.Сформулируйте и докажите теорему Принцип Архимеда

10.Сформулируйте и докажите теорему Усиленный принцип Архимеда (включая доказательство второго случая для x<0).

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: