Понятие «математическая модель»

Введение

1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2) К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой – к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.

Глава 1. Цели и задачи математического моделирования
процессов и систем

Классификация математических моделей

Существует несколько схем классификации математических моделей. Все они достаточно условны. Одна из таких схем приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Все математические модели по использованному формальному языку можно разбить на аналитические и имитационные.

Аналитические – модели, в которых используется стандартный математический язык. Имитационные – модели, в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.

Аналитические модели могут быть записаны в виде формул или уравнений. Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является имитационной.

Аналитические модели в свою очередь разбиваются на теоретические и эмпирические модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель – некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных. Эти данные получают непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.

По форме описания аналитические модели подразделяются на линейные и нелинейные.

Если все входящие в модель величины не зависят от времени, то имеем статическую модель объекта или процесса, в противном случае получаем динамическую модель.

В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей.
В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции.

Если аналитическое исследование может быть доведено до конца, модели называются аналитически разрешимыми. В противном случае говорят о численно разрешимых аналитических моделях.

Контрольные вопросы к лекции 1

1. Что позволяет осуществить математическое моделирование до создания реальной системы, объекта?

2. Что позволяют увидеть вычислительные эксперименты?

3. Сформулируйте основную задачу математического моделирования.

4. Дайте определение математической модели.

5. Какой подход решения научных задач является альтернативным математическому моделированию?

6. Перечислите основные недостатки экспериментального подхода.

7. Что является важнейшей характеристикой математической модели?

8. На какие два вида делятся математические модели?

9. Перечислите виды аналитических математических моделей.

10. Дайте краткую характеристику видов моделей.

Нелинейные детерминированные модели

Нелинейные детерминированные модели обладают бóльшей точностью и гибкостью. Они могут быть заданы в виде нелинейной функции одной или нескольких переменных или в виде дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Наиболее распространенными среди нелинейных моделей при описании ДУ и ДЛА являются:

– полиномиальные функции;

– позиномные функции;

– тригонометрические функции;

– экспоненциальные функции;

– обыкновенные дифференциальные уравнения;

– дифференциальные уравнения в частных производных др.

Нелинейные модели могут быть записаны в виде функционала, зависящего от управляющих переменных х и некоторых функций f (x) всех или части этих переменных:
W = W (x, f (x)). При этом функции f (x) могут представлять собой функционалы, зависящие от промежуточных функций f* (x) и т.д. На класс функций f (x), f* (x) не накладывается никаких ограничений, однако предполагается возможность однозначного перехода от вектора управляющих параметров х к общей характеристике модели W.

Область определения модели может быть ограничена с помощью равенств или неравенств:

x_i = c_i , i = 1,…, m;

f (x) = c_j , j = 1,…, l;

x_{i min} £ x_i £ x_{i max} , i = 1,…, k;

f_j (x) £ c_j, j = 1,…, n.

По существу под определение нелинейной модели подпадает любое математическое описание ДУ и ДЛА, не укладывающееся в рамки более простых моделей.

Полиномиальные модели

Полиномиальные модели основаны на идее приближенного представления модели конечным числом членов ряда Тейлора:

.

Наиболее простой из моделей этого класса является квадратичная модель:

при ограничениях

Квадратичные модели широко используются для представления экспериментальных данных при идентификации ДЛА и их элементов.

Квадратичные модели используются для аппроксимации отдельных участков поверхности отклика, когда линейное приближение оказывается недостаточным, например, в окрестности экстремума, и лежит в основе нелинейных методов оптимизации. Если квадратичная модель также оказывается недостаточно точной, то используются полиномиальные модели более высоких порядков.

Исследование полиномиальных моделей частично можно осуществить аналитическими методами. Например, аналитически можно определить степень влияния отдельных переменных на характеристики модели.

Позиномные модели

Позиномные модели основаны на представлении модели в виде суммы произведений степенных функций:

, (2.14)

где x_i – управляющие переменные, a _ij – произвольные положительные числа, c_j ³ 0 – обеспечивает выпуклость модели.

Величины a _ij, с_j рассчитываются на основе статистических данных, отражающих опыт производства соответствующих узлов и систем.

Позиномные модели можно использовать для описания стоимости сложных систем.

К позиномным моделям сводится задача выбора геометрических характеристик ряда технических устройств, в том числе элементов ДЛА, например, электромагнитов, силовых ферм и т.д.

Исследование позиномных моделей сложнее, чем моделей полиномиального типа, и осуществляется в основном численными методами. Однако, при m = 1 и x ₁ > 0, x ₂ > 0,…, x_k > 0 в формуле (2.4) существует способ приведения позинома к линейному виду.

В этом частном случае модель (2.4) будет выглядеть в следующем виде:

.

Прологарифмируем обе части этого равенства, получим

. (2.15)

Введем обозначения логарифмов переменных W, x ₁, x ₂,…, x _k и константы с:

Выражение (2.5) примет линейный вид

Y (X ₁, X ₂,…, X_k) = C + a₁ x ₁ + a₂ x ₂ + … +a_k x _k.

Для поиска оптимальных решений на основе позиномных моделей разработан специальный аппарат – так называемое геометрическое программирование.

Контрольные вопросы к лекции 3

1. С какими значениями величин оперируют детерминированные модели?

2. Как выглядит линейная детерминированная модель в общем виде?

3. Что представляет собой поверхность отклика для линейной модели?

4. Приведите модель стоимости перевозок.

5. Где используются линейные детерминированные модели?

6. Приведите простейшую математическую модель изменения силы тяги ГТД.

7. К какому типу она относится?

8. Где она может быть использована?

9. Приведите модель установившегося процесса горизонтального полета самолета.

10. Что и как можно определить с ее помощью?

11. Какие виды нелинейных математических моделей Вы знаете?

12. Приведите общий вид квадратичного полинома.

13. Приведите формулу позинома.

14. Как привести позином к линейному виду (при каком условии)?

В качестве примера применения нелинейных статических моделей рассмотрим задачу описания двумерного движения точки по ограниченной области (рис. 2.8). Такая задача может возникнуть при определении координат опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ.

Найдем кратчайший путь от точки А с координатами (х_А, у_А) до точки В с координатами (х_В, у_В) на плоскости, из которой исключена область D, определенная неравенством x ² + y ² £ R ².

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости является соединяющий их отрезок прямой.

Пусть расстояние между точками А и В равно р и центр окружности, ограничивающий область D, лежит посередине между точками А и В. Тогда

Рассмотрим путь АСВ, где точка С имеет координаты (0, у_С), а у_С – достаточно велико, чтобы отрезки АС и СВ не пересекались с областью D. Тогда по теореме Пифагора

.

Отсюда видно, что при убывании у_С путь сокращается. Будем уменьшать у_С до тех пор, пока АС не коснется окружности в точке Е ₁ (С ® С ₁). Этот путь является наилучшим среди путей, составленных из двух отрезков прямых линий.

Обозначим через a угол Ð Е ₁0 С ₁, тогда E ₁ C ₁ + C ₁ F ₁ = 2 R tga;

Длина дуги E ₁ F ₁ определяется по формуле arc E ₁ F ₁ = 2 R a.

Но tga > a для всех a Î .

Следовательно, путь, состоящий из отрезка АЕ ₁, дуги E ₁ F ₁ и отрезка F ₁ B, является более коротким, чем АС ₁ В.

На этой стадии решения задачи мы выяснили, что кратчайший путь состоит их двух отрезков прямых линий и дуги окружности.

Для окончательного решения задачи рассмотрим путь АЕ ₂, дуга E ₂ F ₂, F ₂ B, где Ð А 0 Е ₂ = Ð В 0 F ₂ = b.

Длину этого пути обозначим через S. Получим математическую модель пути:

. (2.16)

, (2.16')

где a – угол между прямой Е ₁0 и осью 0 Y.

Ограничение (2.16') вводится потому, что при прямая АЕ ₁ пересечет область D, а этого не должно быть.

Задача заключается в определении угла b₀, при котором путь S будет минимальным. Необходимым условием минимума функции S (b) является равенство нулю производной:

. (2.17)

Рассмотрим частный случай:

P = 4; R = 1.

Тогда .

Подставив значения p и R в математическую модель (2.6), получим

.

Произведя некоторые преобразования, получим

.

Возьмем производную по b от этого выражения и приравняем ее к нулю.

.

Получили уравнение, решив которое относительно b, найдем значение угла b₀, при котором S минимально. Опустив промежуточные преобразования, получим cosb = 1/2.
То есть b = p/3.

Чтобы убедиться, что найденное значение является точкой минимума, необходимо исследовать вторую производную от (2.16). Если она больше нуля при b = b₀, то S (b) действительно минимальна в этой точке.

Вторая производная от S (b) имеет вид

.

Подставив в нее найденное значение b₀ = p/3, получим

.

Равенство нулю второй производной требует дополнительного исследования критической точки. Необходимо найти первую, не обращающуюся в нуль, производную. Если она нечетного порядка, функция не имеет в исследуемой точке ни максимума, ни минимума. Если она четного порядка и больше нуля, исследуемая точка является минимумом. Проверим третью производную от S (b) по b:

.

Отсюда имеем, что при b = p/3 функция S (b) не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, из графика функции S (b) (рис. 2.9) видно, что на отрезке (2.16') функция (2.16) монотонно убывает. В точке b₀ = p/3, совпадающей с b_огр, кривая имеет точку перегиба. Наименьшее в области определения значение находится на границе этой области. следовательно, путь AE ₁ GF ₁ B действительно кратчайший и его длина равна S (p/3) = 4,511.

Покажем, что математическая модель (2.6) для любых p и R монотонно убывает на отрезке и, следовательно, имеет наименьшее значение при . Для этого необходимо показать, что вторая производная от S (b) на интересующем нас отрезке не превышает нуля.

Вторая производная от функции (2.6) имеет вид

.

Покажем, что она не превышает нуля:

.

Разделив обе части неравенства на 2 R и умножив на корень квадратный (это можно сделать, не нарушив неравенства, так как R > 0, а корень квадратный представляет собой длину отрезка, т. е. тоже больше нуля), получим

.

Возведя обе части в квадрат (на рассматриваемом отрезке sin(b) > 0) и произведя некоторые преобразования, получим

.

В левой части неравенства cos²(b) можно заменить его минимальным значением, т.е. нулем, а в правой части – максимальным значением, т.е. единицей. Тогда получим

0 ³ 4 pR – 4 R ² или p ³ R.

Но p действительно больше R (см. рис. 2.5).

Таким образом, аналитическую модель пути (формула (2.6)) мы использовали для доказательства того, что при b = p/2 – a путь является кратчайшим. Зная это, можно определить координаты опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ при любых значениях величин p и R:

А (– р /2, 0); Е ₁(– R sin(a), R cos(a)); F ₁(R sin(a), R cos(a)); B (p /2, 0),

где a = .

Контрольные вопросы к лекции 4

1. К какому типу можно отнести модель кратчайшего расстояния между двумя точками?

2. Является ли найденное значение угла b точкой минимума пути?

3. Является ли путь S при найденном значении угла b кратчайшим?

Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования (САР), при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения (потоки, частицы, механические элементы).

В простейшем случае модель может иметь вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

или системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Часто встречаются смешанные задачи, а также нелинейные ОДУ.

Модель, заданная в виде дифференциальных уравнений, должна включать в себя необходимый набор начальных условий:

или x ₁(0) = C ₁, x ₂(0) = C ₂,…, x_n (0) = C_n.

Исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, осуществляется аналитическими и численными методами. Наиболее полными являются аналитические решения, обеспечивающие всесторонний анализ полученных результатов. Но такие решения получены лишь для ограниченного числа дифференциальных уравнений. Численные методы решения позволяют найти лишь конкретные значения изучаемой функции при заданной комбинации исходных данных. Для анализа модели можно использовать некоторую совокупность решений. Однако, очевидно, что результаты анализа в этом случае могут зависеть от выбора этой совокупности.

Возмущающая сила, вызывающая колебания, зависит от времени f (t). Наряду с возмущающей силой f (t) на груз действует сила инерции , сила вязкого трения , усилие пружины . Все эти силы тормозят движение груза.

Согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на груз должна равняться нулю:

. (2.18)

Начальные условия характеризуют начальное положение и начальную скорость груза:

x (0) = x ₀; . (2.19)

Уравнение (2.18) совместно с начальными условиями (2.19) представляет собой математическую модель рассматриваемой механической системы.

Стохастические модели

Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.

При этом константы (s, l, r, l,…) заменяются случайными величинами x_s, x_l, x_r, x _l,…, подчиненными определенным законам распределения.

Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика x _W, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.

Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:

1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.

2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.

С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.

Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f (x) и функция распределения R (х) задаются следующими соотношениями:

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):

;

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (- ¥, х):

.

Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [ a, b ] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:

Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки { x_i } из n случайных значений величины х дается соотношениями:

; .

При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.

Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:

,

где n ₊ – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.

Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.

Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности

.

Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству

, (2.20)

Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.

Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.

Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней
(a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).

Контрольные вопросы к лекции 6

1. Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель?

2. Что представляет собой поверхность отклика моделей, исследуемых методом статистических испытаний?

3. В чем заключается метод Монте-Карло?

4. Какие трудности возникают при исследовании стохастических моделей?

5. Какую информацию дает в руки исследователя полученное при статистическом исследовании распределение характеристик системы?

6. Какие законы распределения случайной величины Вы знаете?

7. Как выглядит плотность распределения для нормального закона?

8. Как выглядит плотность распределения для закона равной вероятности?

9. Как определяются оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины?

10. Что такое выборочная статистика?

11. Почему она называется «выборочная»?

12. От чего зависит погрешность стохастического моделирования?

Рубежный контроль 1

Введение

1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2) К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой – к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.

Глава 1. Цели и задачи математического моделирования
процессов и систем

Понятие «математическая модель»

Математическое моделирование позволяет до создания реальной системы (объекта) или возникновения реальной ситуации рассмотреть возможные режимы работы, выбрать оптимальные управляющие воздействия, составить объективный прогноз будущих состояний системы.

Вычислительные эксперименты, проводимые на основе математических моделей, помогают увидеть за частным общее, развить универсальные методы анализа объектов различной физической природы, познать свойства изучаемых процессов и систем.

Наконец, математическое моделирование является основой интенсивно разрабатываемых автоматизированных систем проектирования, управления и обработки данных.

Основная задача математического моделирования – выделение законов в природе, обществе и технике и запись их на языке математики.

Например:

1) Зависимость между массой тела m, действующей на него силой F и ускорением его движения а записывается в форме2-го закона Ньютона: F = m× a;

2) Зависимость между напряжением в электрической цепи U, ее сопротивлением R и силой тока I записывается в виде закона Ома: I = U/R.

Существует множество определений математической модели.

Приведем одно из них:

Математической моделью некоторого объекта, процесса или явления будем называть запись его свойств на формальном языке с целью получения нового знания (свойств) об изучаемом процессе путем применения формальных методов.

Альтернативой формальному (математическому) подходу является экспериментальный подход. К его недостаткам можно отнести:

1) высокая стоимость подготовки и проведения экспериментов;

2) получение частного знания (знания о конкретном объекте исследования, а не о классе объектов).

Например, пусть требуется определить воздействие х на некоторый процесс или объект, при котором его результирующая характеристика у имеет максимально возможное значение (Рис. 1.1).

а б

Рис. 1.1.

На рис. 1.1. а) показан эмпирический (экспериментальный) подход к решению поставленной задачи, который состоит в экспериментальном определении значения параметра у для нескольких значений входного воздействия х. Среди них найдено наибольшее, и оно принимается за максимум. Как видим из этого рисунка, возможно несколько значений воздействия х (х ₄ и х ₅), при которых у имеет наибольшее значение, но ни одно из них не является настоящим максимумом, который, возможно, лежит между ними.

Математический подход (рис. 1.1. б) предполагает наличие математической модели процесса типа y = f (x). Взяв производную и приравняв ее к нулю, получим уравнение, решением которого является точное значение x _max, доставляющее максимум функции у.

Схема применения математической модели при решении реальных задач имеет вид, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Модель сложного объекта (процесса, системы) не может быть простой. Из чего следует, что процесс использования математических моделей реальных систем является итерационным процессом, когда последовательно уточняется (дорабатывается) математическая модель и методы решения стоящих задач.

Важнейшей характеристикой моделей является их точность, адекватность действительности. При этом важно иметь в виду, что все модели представляют собой приближенное описание реальных объектов (процессов) и поэтому принципиально неточны. Интегральная оценка модели може

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: