Глава 2. Системы линейных уравнений.

система из m линейных уравнений с m неизвестными.

Примечание. Не обязательно все n переменных есть в каждом уравнении, в некоторых какие-то могут быть пропущены, то есть коэффициенты

= 0.

Уравнения здесь называются линейными потому, что все неизвестные именно в первой степени, то есть нигде не возводятся в квадрат, не умножаются между собой, не извлекается корень и т.д.

Если при этом ещё и все

, то система называется однородной.

Решением системы называется такой набор констант

, что при подстановке их вместо

во всех уравнениях получатся тождества. Можно представлять также и в виде вектора

Обычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:

Определение. Если существует хотя бы одно решение (то есть набор

, обращающий в тождества все уравнения) то система называется совместной, а если решения не существует, то несовместной, или противоречивой.

Слово «совместная» система означает, что уравнения совместны между собой, не противоречат друг другу. Примеры:

Несовместная

если вычесть из 2-го уравнения удвоенное первое, получим противоречие: 0=1.

Если в правой части 2-го уравнения было бы 4, а не 5, то система была бы совместной.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.

Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда

(ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

Замечание. Вообще, при добавлении нового столбца ранг может или остаться прежним, или увеличиться на 1.

Идея доказательства. Если вектор

(вспомним векторный вид системы) является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то существуют

- коэффициенты, и решение существует, а если он не является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то

не существует, и решения нет.

Рассмотрим расширенную матрицу для системы из недавнего примера:

. Если рассматривать основную матрицу (до черты) там ранг = 1, потому что во 2-й строке только нули. А если всю расширенную матрицу, то там есть невырожденный минор 2-го порядка:

. Ранги основной и расширенной матриц не совпадают.

Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой.

Неопределённая:

Решения: (1,1) или (2,0) или (0,2) или (3,-1) или (4,-2), их бесконечно много.

Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует

. Что бы мы ни подставляли вместо

, найдётся

. Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись

здесь называется общим решением, а переменная

, которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.

* Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е.

то система неопределённая, так как есть столбцы, не входящие в базисный минор, и именно эти неизвестные переносятся вправо.

Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных:

Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут:

1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая.

2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая.

3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.

Методы решения систем с квадратной основной матрицей.

, то есть

. Получается, что все

можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

На примере:

. Матричный вид системы:

, обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это

. Тогда

. Итак,

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её

. Тогда верны следующие формулы для

для каждого i от 1 до n.

Идея доказательства формул Крамера проста и основывается на подробной записи матричного равенства

, учитывая структуру обратной матрицы:

тогда

как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, но умножаются они на

, то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы.

Рассмотрим на примере той же самой системы:

Но эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.

Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового

, вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент

(для каждой строки разные). Теперь

будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем

, вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже

, ниже

, и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз

букв «

». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот

После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь