Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







тригонометрической и показательной формах





 

Пусть даны комплексныt числа , , .

В показательной и тригонометрической формах записи их можно сравнивать, умножать на число, сопрягать, перемножать, делить, возводить в степень и извлекать из них корни. Рассмотрим эти действия подробнее.

 

11.3.1 Два комплексных числа равны, когда их модули равны и аргументы

отличаются на число, кратное .

В противном случае комплексные числа различные;

11.3.2 При умножении комплексного числа на действительное число получается число, модуль которого равен | |×|z| и аргумент при >0 не изменяется либо при <0 увеличивается на ,

11.3.3 При сопряжении комплексного числа получится число с тем же модулем , но с аргументом противоположного знака,

т.е его модуль не меняется, а аргумент изменит знак

(либо вычитается из );

11.3.4При умножении числа комплексного числа на число получается число, модуль которого получается умножением модуля числа на модуль числа , аргумент получается сложением аргумента числа с аргументом числа ,

т.е. при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются

а аргументы складываются;

 

11.3.5При делении числа на ненулевое число получается число, модуль которого получается делением модуля числа на модуль числа , аргумент получается вычитанием из аргумента числа аргумента числа ,

,

т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся а аргументы вычитаются;

 

 

11.3.6При возведении в натуральную степень n комплексного числа

получается комплексное число, модуль которого является n –й степенью

модуля числа z и аргумент получается умножением аргумента числа z

на натуральное число n ,

(23) - Формула Муавра ;

11.3.7 При извлечении корня степени , из комплексного числа

получается множество комплексных чисел, модули которых являются

корнем степени n из модуля числа z, аргумент каждого получается

подстановкой целого числа k в выражение ,

,

(24)

– Формула Муавра – Лапласа.

Среди корней степени , из комплексного числа z, различных чисел ровно n штук. Они получаются подстановкой последовательно n целых чисел (например к =0, 1, 2, … , n-1 ) в формулу (24). Такие комплексные числа лежат на одной окружности радиуса с центром в начале координат и являются вершинами вписанного в такую окружность правильного n- угольника с поворотом начальной вершины на угол (при к=0), остальные получаются каждый раз поворотом на угол .

Пример 15

Даны комплексные числа , и .

Найти модули и аргументы чисел .

Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .

Решение:

1) Для числа найдём его модуль и аргумент:

, , .

Тогда ,

;

2) , при этом .

;

3) .

4) , , ,

;

5) .

.

Подставим последовательно к=0, к=1, к=2:

 

 

Изобразим найденные решения уравнения на комплексной плоскости:



все три найденных решения лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом . Три соответствующих точки комплексной плоскости являются вершинами правильного треугольника с поворотом начальной вершины на угол , угол между ними или 1200 .

 


Упражнения

12.1 В треугольнике АВС проведена медиана AD, D – середина стороны ВС.

Доказать, что .

12.2 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , найти суммы векторов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответ:1) ; 2) ; 3) ; 4) .

12.3 Дан тетраэдр ABCD. Найти суммы векторов:

1) ; 2) .

Ответ:1) ; 2) .

12.4 Даны три компланарных единичных вектора вектора ,

причем .

Построить вектор и вычислить его модуль.

Ответ: .

 

12.5 Составляющие для скорости направлены под углом 600 друг к другу

и равны соответственно 6 и 4 м/с. Найти скорость результирующего

движения.

Ответ: м/с.

 

12.6 В параллелограмме ABCD , О – точка пересечения

диагоналей. Выразить векторы через векторы и .

Ответ: .

 

12.7 Найти скалярное произведение векторов, модули которых 5 и 6 и угол

между ними равен

1) 450 ; 2) 600 ; 3) 900 ; 4) 1200 ; 5) 1800.

Ответ: 1) 15 ; 2) 15; 3) 0; 4) -15; 5) -30.


 

12.8 Дано 0.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Ответ: 1)-10; 2) 25; 3) -39; 4) 61; 5) 1101.

 

12.9 Дано . Найти модуль вектора .

Ответ: .

 

12.10 Даны три некомпланарных вектора , причем известно, что

, ^ .

Найти 1) ; 2) .

Ответ: 1) -3; 2) 26.

 

12.11 Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах и , где и – единичные векторы,

угол между которыми равен 600.

Ответ: 3 и .

 

12.12 Найти скалярное произведение векторов

1) и ;

2) и ;

3) и , если А(1; 2; 0), В(0; -1; 3), С(4; -1; 3) и D(2; 0; -2).

Ответ: 1) 5; 2) -3; 3) -16.

 

12.13 При каком значении m векторы =(4; m; -6) и =(m; 2; -7) взаимно

перпендикулярны?

Ответ: -7.

 

12.14 Найти площадь треугольника АВС, если А(1; 2: 3), В(-1; 3; 1) и С(0; -1; 4).

Ответ: .

 

12.14 Найти объем тетраэдра АBCD, если его вершины A(1; 2; 1), B(3; -1; 2),

C(0; 5; -4) и D(5; 1; 1).

Ответ: 13,5 .

 

12.15 Записать полярные координаты точек А(0; 3), В(-5; 0), С(2; -4).

Ответ: А(3; 0) , В(5; ) , С( ).

 

12.16 Найти решения уравнения .

 

Ответ: z1=-1, z2=1, z3= – 2i, z4=2i.

 

12.17 Изобразить на комплексной плоскости решения уравнения

.

 

Ответ:

 


Вопросы для самоконтроля

13.1 В чём разница между скалярными и векторными величины? Привести насколько примеров величин обоих видов.

13.2 Перечислите способы построения суммы векторов, чем они отличаются и могут ли получиться разные результаты для одинаковых слагаемых.

13.3 Как построить разность двух векторов, как связана разность векторов с суммой таких векторов?

13.4 Перечислить свойства линейных операций над векторами (сложения, вычитания, умножения на число).

13.5 Будут ли линейно зависимыми противоположные векторы?

13.6 Можно ли взять базисом два ненулевых вектора с углом между ними 600?

13.7 Какие векторы задают аффинные координаты (-1; 0) , (0; 1) , (0; -1) ?

13.8 Что можно сказать о взаимном расположении двух векторов, скалярное произведение которых нулевое, отрицательное, положительное?

13.9 Как найти модуль вектора, заданного своим разложением по аффинному базису с известными модулями базисных векторов и углами между ними?

13.10 Как графически найти координаты точки пространства после введения декартовой системы координат этого пространства?

13.11 Как сложить, вычесть два вектора декартовых координатах и умножить их на число? Перечислить свойства этих операций.

13.12 Перечислить способы нахождения результатов скалярного и векторного произведений двух векторов, заданных координатами. Чем существенно отличаются такие результаты?

13.13 Как разделить отрезок, заданный координатами начала и конца в отношении 3:2 ?

13.14 Перечислить последовательность действий для нахождения площади треугольника, заданного координатами вершин в пространстве.

13.15 Перечислить способ вычисления смешанного произведения трёх векторов и его основные свойства с геометрическим смыслом.

13.16 Как проверить некомпланарность трёх векторов с известными координатами?

13.17 Как найти координаты вектора в аффинном базисе, заданном своими координатами в декартовом базисе?

13.18 Что необходимо задать, чтобы получить полярную систему координат на фиксированной плоскости? Что и как нужно будет измерять, чтобы получать полярные координаты точек плоскости?

13.19 Указать связь между декартовыми и полярными координатами точек плоскости. Каково должно быть взаимное расположение декартовой и полярной систем координат при этом?

14.20 Как перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную. Как выполнить обратное преобразование?

14.21 Записать формулы возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.

 

 


14 Контрольное задание

 

 

14.1 В базисе с модулями и углом между ними

заданы векторы и (см. таблицу).

Найти .

  Вариант Условия
4 7 j=30о =2 -3 =5 +
4 5 j=60о =2 + =3 +
5 3 j=30о =2 +3 =4 +6
1 5 j=90о =2 - =4 +
3 5 j=150о =3 - = +2
2 5 j=45о =5 - = +3
2 3 j=90о =2 - =5 +2
4 3 j=30о =2 -3 = +3
4 7 j=135о = -3 =2 +
4 1 j=120о =2 - =3 -2
5 2 j=30о =2 -3 =2 +
4 7 j=30о =2 -3 =5 +
4 2 j=30о =2 - =3 +
3 5 j=150о =3 - =3 +2
6 7 j=30о =2 - = +3
4 3 j=30о =3 -2 =3 +
2 5 j=90о =2 -3 = +
3 4 j=150о =2 -3 = +3
2 3 j=60о =2 - =5 +2
3 4 j=150о = +3 =2 +
1 5 j=120о =4 -3 = +
3   4   j=30о   =2 +4 = +
Вариант  
4 2 j=60о =2 - =2
5 3 j=30о =2 - = +3
4 3 j=90о =4 -2 = +2
4 5 j=30о =2 -3 =5 +
3 2 j=60о = -2 =4 +5
4 1 j=30о =3 - =4 +3
4 2 j=45о = -5 = +2
4 5 j=60о =6 +2 =4 -3
4 7 j=150о = -2 =2 +
3 4 j=60о =3 -2 =4 +5
4 5 j=120о =4 -2 =3 +3
4 2 j=30о =3 -5 =4 +

 

14.2 Даны векторы , , , (см. таблицу).

Найти для них

2)

3) Косинусы углов и углы между

4)

5) Площадь треугольника построенного на векторах

6) Смешанное произведение

7) Объём пирамиды построенной на

8) Разложение вектора по векторам , если они образуют базис.

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.