Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Глава 5. Механические колебания и волны





Контрольные вопросы

1. Какое движение называют колебаниями?

2. Какие колебания называются гармоническими? Какими величинами они характеризуются?

3. Как найти скорость и ускорение колеблющейся точки в любой момент времени? Покажите на конкретном примере.

4. Запишите второй закон Ньютона для гармонически колеблющейся материальной точки.

5. Как найти кинетическую и потенциальную энергию гармонических колебаний материальной точки?

6. Вспомните формулы периодов колебаний математического, пружинного и физического маятников.

7. Какое движение получается при сложении двух гармонических одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами? Каковы будут характеристики этого движения?

8. Когда возникают биения? Напишите уравнения биений и охарактеризуйте величины, входящие в него.

9. Какова будет траектория результирующего колебания при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми частотами?

10. Какие колебания называются затухающими? Напишите уравнение затухающих колебаний и поясните его.

11. Что такое время релаксации? Как оно связано с показателем затухания?

12. Что называется логарифмическим декрементом затухания? Каков его физический смысл?

13. Какие колебания называются вынужденными? Проанализируйте зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты системы.

14. Выведите уравнение плоской бегущей волны.

15. Когда при наложении когерентных волн происходит усиление колебаний, а когда ослабление?

16. Каков физический смысл вектора Умова? Чему равна его величина и как он направлен?

17. Какие волны называют стоячими? Как их можно получить? Запишите уравнение стоячей волны и дайте необходимые пояснения.

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

,

где x - смещение точки от положения равновесия, А - амплитуда колебаний, w- циклическая частота, j0 - начальная фаза.

Циклическая частота связана с периодом и линейной частотой следующими соотношениями

.

Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются как первая и вторая производные от смещения по времени.

Сила, под действием которой точка массой m совершает гармонические колебания, определяется по 2 закону Ньютона

,

где k - коэффициент возвращающей (квазиупругой) силы.

 

Кинетическая и потенциальная энергия колеблющейся точки:

,

 

.

Периоды колебаний простейших колебательных систем:

 

а) Математический маятник:

.

б) Пружинный маятник:

.

 

в) Физический маятник

,

где Jo- момент инерции маятника относительно его оси вращения, m - его масса, lc - расстояние от центра масс до оси вращения, g - ускорение свободного падения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой



 

 

и с начальной фазой, определяемой из уравнения

,

где A1 и A2- амплитуды складываемых колебаний, j1 и j2 -их начальные фазы.

 

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид

.

 

Уравнение затухающих колебаний

 

,

 

где A0e-bt - амплитуда колебаний в данный момент времени t, A0 - амплитуда в начальный момент времени, - коэффициент (показатель) затухания, e - основание натуральных логарифмов, - циклическая частота затухающих колебаний.

 

Логарифмический декремент затухания:

.

При распространении незатухающих колебаний со скоростью v вдоль оси х, смещение любой точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением (уравнение плоской бегущей волны)

,

где l = vT = v/n - длина волны, х - смещение для продольных колебаний, у - для поперечных.

Методические указания

1. Закон синуса или косинуса для гармонических колебаний определяется начальными условиями. Если начальные условия не заданы, то можно брать любой закон. Кроме того, уравнение одного и того же гармонического колебания можно записать через закон синуса или косинуса, основываясь на их связи по формулам приведения.

2. Следует помнить, что при максимальном смещении (х =А) скорость точки равна нулю, а ускорение максимально. В положении равновесия (х = 0) скорость максимальна, а ускорение равно нулю. Ускорение всегда направлено к положению равновесия.

3. При сложении одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой результирующее колебание происходит вдоль той же прямой с такой же частотой. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний для нахождения траектории точки из уравнений складываемых колебаний надо исключить время

4. Гармонические колебания происходят под действием упругих или квазиупругих сил. При этом всегда и , где w0 и T0 - собственная частота и собственный период гармонических незатухающих колебаний. Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний . Вынужденные колебания происходят по закону вынуждающей силы, отставая от нее по фазе. Резонансная частота , сдвиг фаз при резонансе равен p/2.

ЗАДАЧИ

92. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 50 мм, периодом 4 с и начальной фазой p/4. Найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 с, а также скорость и ускорение в эти моменты. Начертить график этого движения.

[ мм; x1= 35,2 мм,

v1 = 54,95 мм/с, а1 = 86,8 мм/с2;

х2 = 0, v2 = 78,5 мм/с, а2 = 0]

93. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 5 см, периодом 8 с, если начальная фаза равна 0. Начертить график смещения, скорости, ускорения.

[ см; см/с; см/с2]

94. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами А1 =А2 = 2 см и одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 8 с, но имеющими разность фаз равную: а) p/4; б) p/2; в) p; г) 0.

95. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний 24 с, начальная фаза 0.

[t = 2 с]

96. Начальная фаза гармонического колебания равна 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

[t = T/6]

97. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

[vmax = 7,85 см/с; amax = 12,3 см/с2]

98. Уравнение движения точки дано в виде x=2sin(pt/2 + p/4) см. Найти период колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение.

[T = 4 с; v max = 3,14 см/с; amax = 4,93 см/с2]

99. Уравнение движения точки дано в виде x=sin(pt/6). Найти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

[t = 0 , 6, 12, 18, ...,... c; t = 3, 9, 15, ..., .... c ]

100. Начальная фаза гармонического колебания равна 0. При смещении точки от положения равновесия на 2,4 см скорость точки равна 3 см/с, а при смещении равном 2,8 см - ее скорость 2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания.

[A = 3,1 см; T = 4,1 c]

101. Уравнение колебаний материальной точки массой 10 г имеет вид x=5sin(pt/5+p/4) см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

[Fmax = 197 мкН; W = 4,93 мкДж]

102. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) х = А/4; б) х = А/2; в) х = А, где А - амплитуда колебаний.

[15; 3; 0]

103. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний равен 2 с и начальная фаза равна p/3.

[ см]

104. Шарик подвешенный на нити длиной l = 2 м, отклоняют на угол 4o и наблюдают его колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики.

[vmax = 0,31 м/с; v = 0,31м/с]

105. К пружине подвешен груз массой 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы, равной 9,8 Н, растягивается на 1,5 см, найти период вертикальных колебаний груза.

[T = 0,78 с]

106. Две пружины с коэффициентами жесткости k1 и k2 соединены один раз последовательно, второй раз параллельно. Во сколько раз будут отличаться периоды вертикальных колебаний груза на таких пружинах? Чему будет равно отношение периодов при k1 = k2 ?

[ ; ]

107. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом, равным 3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра равен 1 см.

[ = 0,89×103 кг/м3]

108. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми периодами, равными 8 с, и с одинаковой амплитудой, равной 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна p/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

[ см]

109. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями х = 4sin pt см и x = 3 sin (pt +p/2) см. Написать уравнение результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.

[A = 5 cм; j0 » 0,2p рад; см]

110. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой, равной 5 Гц, и с одинаковой начальной фазой, равной p/3. Амплитуды колебаний равны 0,1 и 0,05 м.

[ см]

111. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны 3см и 4 см, соответственно. Найти амплитуду результирующего колебания, если колебания совершаются: а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

[А = 7 см; А = 5 см]

112. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = 2sin wt м и y = 2сos wt м. Найти траекторию результирующего движения точки.

[Окружность, R = 2 м]

113. Период затухающих колебаний равен 4 с; логарифмический декремент затухания d = 1,6; начальная фаза равна 0. При t = Т/4 смещение точки х = 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов.

[ см]

114. Уравнение затухающих колебаний дано в виде x = 5e-0,1tsin pt/2 м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, Т, 2Т, 3Т и 4Т.

[7,85; 2,88; 1,06; 0,39; 0,14 м/с ]

115. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

[А1/А2 = 1,22]

116. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника равна 1 м.

[d = 0,023]

117. Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же строну) - на 4 см. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз, где е - основание натуральных логарифмов.

[t = 6,4 с]

118. Уравнение поперечных незатухающих колебаний имеет вид
y = sin 2,5pt см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна 100 м/с.

[y = 0 cм; v = 7,85 см/с; а = 0 см/с2]

119. Найти разность фаз колебаний двух точек, отстоящих от источника колебаний на расстояниях 10 м и 16 м. Период колебаний равен 0,04с; скорость распространения равна 300 м/с.

[Dj = p]

120. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см под действием груза массой в 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски 10 кг.

[v = 0,48 м/с » 1,7 км/ч]

121. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние l/12, для момента времени Т/6. Амплитуда колебаний 0,05 м.

[2,5 см]

122. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 4 см, в момент времени Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину l бегущей волны.

[l = 0,48 м]

123. Однородный стержень длиной 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний стержня.

[T = 1,16 c]

124. Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний обруча.

[T = 1,5 c]

125. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых колебаний математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса?

[T1/T2 = 1,05]









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.