Абсолютно чёрное тело. Законы Стефана-Больцмана и Вина.

Задача 1. Металлическая поверхность площадью S = 10 см², нагретая до температуры Т = 2,5 кК, излучает за 5 мин 300 кДж. Определите: 1) энергию W_e, излучаемую этой поверхностью, считая её абсолютно чёрной; 2) отношение энергетических светимостей этой поверхности R и абсолютно чёрного тела R_eпри данной температуре.

Дано: S =10см² =10м²; Т = 2,5 кК = 2,5·10³ К; Δt = 5 мин = 300 с;

Анализ. Тепловое излучение это излучение нагретого тела. Оно совершается за счёт теплового движения атомов и молекул вещества и свойственно всем телам при температуре выше 0 К.

Полная энергия, излучаемая металлической поверхностью за время Δt

где Ф - поток излучения, т.е. энергия, излучаемая всей поверхностью излучающего тела в единицу времени.

Поток излучения для поверхности площадью S равен

R - энергетическая светимость, которая представляет собой энергию, излучаемую при данной температуре Т единицей поверхности излучающего тела в единицу времени во всём диапазоне длин волн. Подставим выражение (2) в (1).

Отсюда энергетическая светимость металлической поверхности (не чёрного - серого тела)

По условию задачи, если считать, что поверхность является абсолютно чёрным телом, то для определения энергетической светимости чёрного тела используем закон Стефана-Больцмана:

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана.

Решение: Найдём энергию, излучаемую металлической поверхностью, если бы она была абсолютно чёрным телом. Для этого подставим выражение (5) в формулу (3),

Из формул (5) и (6) следует, что для абсолютно чёрного тела

Найдем отношение энергетических светимостей данной и этой же поверхности, считая её абсолютно чёрным телом, исходя из соотношений (4),(7) и (6):

1) W_e = σТ⁴ S Δt = 5,67·10^-8·2,5⁴·10¹²·10^-3 ·300 = 665 (кДж)

Задача 2. Площадь S, ограниченная графиком зависимости испускательной способности r_λ,Т абсолютно чёрного тела от длины волны, при переходе от термодинамической температуры Т₁ к температуре Т₂ увеличилась в 5 раз. Определите, как изменится при этом длина волны, соответствующая максимуму испускательной способности чёрного тела.

Анализ. На рисунке изображены два графика зависимости испускательной способности абсолютно чёрного тела r_λ,Т от длины волны λ, соответствующих температурам Т₁. и Т₂(Т₂ > Т₁). Испускательная способность r_λ,Т характеризуется энергией, излучаемой единицей поверхности тела в единицу времени, отнесённой к единичному интервалу длин волн вблизи данной длины волны λ. Кроме того, r_λ,Т зависит от температуры. На графиках Т₂ > Т₁. С возрастанием температуры уменьшается длина волны λ _макс, соответствующая максимуму испускательной способности абсолютно черного тела. Зависимость λ _макс от температуры описывается законом смещения Вина:

Энергетическая светимость R_Тявляется количественной характеристикой теплового излучения и представляет собой энергию, излучаемую единицей поверхности тела, при данной температуре, в единицу времени во всём диапазоне длин волн. Чтобы найти энергетическую светимость необходимо проинтегрировать испускательную способность по всем длинам волн.

Результатом интегрирования является закон Стефана-Больцмана:

где σ – постоянная закона Стефана-Больцмана.

Из математики известно, что интеграл численно равен площади под кривой, поэтому площади на графиках, ограниченные кривыми r_λ,Т(λ), определяют энергетические светимости тела. Отсюда следует, что

Решение: Воспользуемся законом смещения Вина (1) и запишем выражение для Т₁ и Т₂

Отсюда следует, что длина волны λ _макс обратно пропорциональна температуре, т.е.

Температуры Т₁ и Т₂ определим из закона Стефана – Больцмана:

Задача 3. Максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца приходится на длину волны λ _max= 0,48 мкм. Считая, что Солнце излучает как абсолютно чёрное тело, определить температуру его поверхности и мощность, излучаемую его поверхностью.

Решение: По закону смещения Вина искомая температура поверхности Солнца:

Энергетическую светимость чёрного тела (Солнца) R_eнайдём, используя закон Стефана-Больцмана

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴) –постоянная Стефана- Больцмана.

Подставив записанные выражения в формулу (1), найдём искомую мощность, излучаемую поверхностью Солнца

2) Р = 4π r²σ Т⁴.= 4· 3,14·(6,95·10⁸)² 5,67·10^-8 6,04·10³ = 4,58·10²⁶(Вт).

Задача 4. Определить для фотона с длиной волны λ = 0,5 мкм

Анализ. По современной теории свет проявляет корпускулярно-волновой дуализм. С одной стороны это электромагнитная волна, а с другой - это поток частиц – фотонов. С волновой точки зрения объясняются такие явления, как: интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия; а с корпускулярной: тепловое излучение, фотоэффект, тормозное рентгеновское излучение, эффект Комптона.

Фотон – световая частица, несущая определённую порцию энергии (квант энергии) e и, как любая частица, характеризуется импульсом р и массой m. Одновременно он обладает свойствами волны (λ – длина волны, ν - частота).

1). Энергия фотона определяется по универсальной формуле Планка: e = hn,

где h = 6,63·10^-34Дж·с – постоянная Планка, n - частота фотона.

Используя формулу, связывающую частоту с длиной волны λ n = c, получим e = hc/λ, где с = 3· 10⁸м/с - скорость фотона (скорость света).

2). Масса фотона при его движении принимает значение, определяемое из соотношения: e = hn = m_фc². Отсюда

Масса покоя фотона m₀ = 0, так как фотон находится в постоянном движении со скоростью света.

3).Импульс фотона найдём по формуле:

Вводя постоянную Планка с чертой

и волновой вектор, который направлен в сторону распространения волны,

, получим p = ħ k

Решение. Подставим числовые значения в соответствующие формулы и произведем вычисления:

1) e = hc/λ = 6,63 · 10^-34· 3·10⁸ / 0,5· 10^-6 = 39,78· 10^-20(Дж) = 2,48(эВ).

Ответ: 1) e = 2,48 эВ; 2) m_ф = 4,43· 10^-26кг; 3) р = 1,33· 10^-27кг· м/с.

Задача 5. Определить число фотонов, падающих за t = 2 с на площадку S = 0,25 мм², расположенную на расстоянии R = 1м от электрической лампочки мощностью Р = 40 Вт. Считать, что лучи от лампы рассеиваются во все стороны равномерно и имеют среднюю длину волны λ = 0,5 мкм.

Дано: t = 2с, λ = 0,5мкм = 0,5·10^-6м; S = 0,25мм²= 0,25·10^-6м²; Р = 40Вт; R = 1 м.

Анализ. Лампу представляем в виде точечного источника энергии. Энергия, испускаемая лампой за время t, может быть найдена: W = P· t. Вся энергия W от этого точечного источника распространяется во все стороны. На расстоянии R энергия равномерно распределится по внутренней шаровой поверхности, площадь которой S_п = 4pR², поэтому на единицу поверхности будет подать энергия:

, а на площадку S за это время поступит энергия, пропорциональная величине площади данной площадки S:

Решение: Так как каждый фотон обладает энергией

то число фотонов, несущих на площадку S энергию W_S, найдём делением этой величины энергии на энергию e одного фотона.

Задача 6. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия Т была равна энергии фотона e с длиной волны λ = 1 пм.

Анализ. Для электрона, который двигается со скоростью значительно меньшей скорости света, мы можем пользоваться формулами классической механики, а для электрона, двигающегося со скоростью близкой к скорости света, необходимо применять формулы теории относительности, поэтому сначала выясним, классической или релятивистской частицей является электрон. Для этого необходимо сравнить кинетическую энергию электрона, равную по условию задачи энергии фотона с длиной волны λ, с энергией покоя электрона.

где h – постоянная Планка, а с – скорость распространения света в вакууме.

Энергию покоя электрона находим по формуле:

1) Если Т < Е_о, то электрон – классическая частица. Тогда его скорость можно найти по формулам классической физики:

2) Если Т > Е_о, то электрон является релятивистской частицей. В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е = mс²и энергией покоя Е_о = m_ос² этой частицы, т.е. Т = Е - Е_о. Кроме того, надо учесть зависимость массы от скорости. Кинетическую энергию электрона определяем по релятивистской формуле:

β = υ / с - скорость частицы υ, выраженная в долях скорости света.

Согласно условию задачи приравняем выражения(1) и (3”):

1) Отношение кинетической энергии электрона к его энергии покоя:

Таким образом, T > E. Электрон в данных условиях является релятивистской частицей.

2) Найдём скорость электрона по релятивистской формуле:

Задача 7. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией Т = 3 МэВ.

Анализ. Установим соотношение между релятивистским импульсом р частицы и её кинетической энергией Т.

Полная энергия частицы пропорциональна её массе, т.е.

Зависимость релятивистской массы от скорости движущейся частицы определяется формулой:

где β - скорость частицы, выраженная в долях скорости света β =. υ/с;

Заменив массу m в формуле (1) её выражением (2) и приняв во внимание, что m_ос² = Е_о- энергия покоя частицы, получим

Возведём обе части равенства (3) в квадрат:

откуда

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде Е² – р²с² = Е_о². Из этого соотношения получим выражение для релятивистского импульса:

Преобразуем его следующим образом: разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Тчастицы, т.е. Е – Е_о =Т, а Е + Е_о = Т + 2Е_о. Поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится следующей формулой:

Решение. Исходя из условия задачи, по формуле (5) рассчитаем искомый релятивистский импульс электрона. Для простоты в расчётах найдём числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем, умножив этот результат на величину заряда электрона, перейдём к величине в единицах СИ.

кг·м/с

6.3. Фотоэффект ( малые скорости фотоэлектронов ).

Задача 8. На металлическую пластинку падает монохроматический свет (λ = 0,413 мкм). Поток фотоэлектронов, выбиваемых с поверхности металла, полностью задерживается, когда разность потенциалов тормозящего электрического поля U_з достигает 1 В (см. рис.). Определить скорость фотоэлектронов, красную границу фотоэффекта и работу выхода фотоэлектронов из металла в электрон-вольтах..

Дано: λ = 0,413 мкм = 4,13 ·10^-7м; U_з = -1 В; с = 3·10⁸м/с; h = 6,63·10^-34Дж·с.

Анализ. При внешнем фотоэффекте падающие на металлическую пластинку фотоны света выбивают из её поверхностного слоя электроны. При этом выполняется закон сохранения энергии, т.е. энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии. Фотоэффект описывается уравнением Эйнштейна:

где hν = hс/λ –энергия падающего на пластинку фотона; А- работа выхода электрона из металла, которая зависит только от природы вещества; T_макс.- максимальная кинетическая энергия выбиваемых

На рисунке 6-2 изображена вольт-амперная характеристика фотоэлемента. Разность потенциалов между катодом и анодом отложена на оси абсцисс, а на оси ординат - величина фототока.

При U > 0 электроны, вылетающие с поверхности катода, попадают в ускоряющее внешнее поле и легко достигают анода. В области U < 0 внешнее поле тормозит движение электронов. Однако наличие тока в этой области указывает на то, что выбитые из катода электроны имеют начальную скорость, а следовательно и кинетическую энергию, достаточную для того, чтобы достичь анода, преодолев тормозящее поле.

Чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение, при котором ни один из электронов, даже вылетающий из катода с максимальной скоростью, не мог преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Это возможно при выполнении равенства:

Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта, т.е. максимальная длина волны λ_кр, выше которой фотоэффект невозможен. Свет длиной волны λ>λ_кр. не может вызвать фотоэффект. Эту границу фотоэффекта можно найти из условия, что кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю Т = 0. Тогда энергия падающего фотона будет расходоваться только на работу выхода электрона из металла:

Решение: 1. Подставим (2) в формулу (3), получим

Отсюда скорость выбиваемых фотоэлектронов:

2. В уравнении Эйнштейна (1) ν - частота падающего фотона. Она связана с его длиной волны λ следующим соотношением:

Тогда энергию падающего фотона можно представить так:

Работу выхода получим из формулы (1), подставив в неё соотношения (6) и (3),

(7)

Найдем работу выхода в электрон-вольтах (эВ), для этого полученное значение работы выхода в СИ надо разделить на величину заряда электрона: 3,2·10^-19/1,6·10^-19= 2(эВ).

3. Длину волны, соответствующую «красной границе» фотоэффекта, рассчитаем по формуле (4):

Ответ. 1) υ=5,9 ·10⁵м/с; 2) А= 2эВ; 3) λ_кр.= 6,22·10^-7м = 622 нм.

6.4. Фотоэффект ( релятивистские скорости фотоэлектронов)

Задача 9. Определите максимальную скорость. фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка (работа выхода А = 4 эВ), при облучении

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ = 208 нм;

Дано: А = 4 эВ; /λ₁ = 208 нм =208·10^-9м; λ ₂ = 2,47 пм=.2,47·10^-12м.

Анализ. При внешнем фотоэффекте под действием электромагнитного излучения из металлов вырываются фотоэлектроны. Фотоэффект описывается уравнением Эйнштейна, выражающим закон сохранения энергии в этом процессе, т.е. энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии

где ε = hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Т_макс. – максимальная кинетическая энергия выбитого электрона.

Скорость выбитого фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект, но эта зависимость не однозначна. Необходимо энергию фотона сравнить с величиной энергии покоя электрона, которая определяется так Е_о = m₀с² = 0,5 МэВ

Если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона, то для расчёта кинетической энергии электрона применяют классическую формулу:

Если энергия фотона ε и энергия покоя электрона Е_о соизмеримы, то кинетическая энергия выбитого электрона Т вычисляется по релятивистской формуле:

, (3)

Решение: 1). Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения:

Так как энергия фотона (6 эВ) много меньше энергии покоя электрона (Е_о = 0,51 МэВ), то для кинетической энергии можем воспользоваться формулой (2) и в этом случае энергия падающего фотона:

Энергия фотона

- излучения ε₂много больше работы выхода электрона из металла(А = 4 эВ), поэтому в уравнении (1) работой выхода можно пренебречь, и можно считать, что максимальная энергия выбитого электрона Т_макс = ε₂= 0,5 МэВ. Так как в этом случае кинетическая энергия выбитого электрона соизмерима с энергией покоя электрона Е_о, то для вычисления его максимальной скорости следует использовать релятивистскую формулу (3), учитывая, что β = υ/с. Тогда

Ответ. 1) υ_1макс. = 0,83 · 10 ⁶м/с; 2) υ_2макс.= 2,6· 10 ⁸м/с.

Задача 10. Фотон с энергией 1,025 МэВ рассеялся на свободном электроне. Определить угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской длине волны l_к= 2,43пм.

Анализ: При упругом соударении фотона со свободным электроном наблюдается эффект Комптона, т.е. упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения, сопровождающегося увеличением волны. При этом выполняются законы сохранения импульса и энергии.

где р_ф -импульс налетающего фотона, р_ф' – импульс фотона, рассеянного под углом θ, р_е - импульс электрона отдачи.

Здесь Е_o = m₀с² – энергия электрона до столкновения (энергия покоя электрона), m₀ – масса покоя электрона, - энергия электрона после столкновения (это релятивистская формула, которая используется потому, что в общем случае скорость электрона отдачи соизмерима со скоростью света), ε = hν – энергия налетающего фотона, ε'= hν' –энергия рассеянного фотона. Решая систему уравнений из законов сохранения (1) и (2), можно получить формулу Комптона:

l - длина волны падающего излучения, l' – длина волны фотона, рассеянного под углом θ. Комптоновская длина волны l_к = h/m₀с = 2,43· 10^-12м.

Решение: По условию задачи l' = l_к.. Подставим l_кв формулу (3), получим

(4)

Выразим длину волны l налетающего на электрон фотона через его энергию ε:

Подставим это значение l в формулу (4), получим для cos θ следующее равенство:

Выразим энергию фотона в Дж: ε =1,025∙10⁶ ∙1,6∙10 ^-19 = 1,64∙10^-13(Дж)

Задача 11. Фотон с длиной волны λ = 5 пм испытал комптоновское рассеяние под углом θ = 90^о на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите

Решение: 1) Для определения изменения длины волны фотона при рассеянии учтём, что по условию задачи угол рассеяния θ = 90^о. Тогда cos θ = 0 и уравнение Комптона (1) примет вид:

Изменение длины волны фотона произошло на величину, равную комптоновской длине волны, т.е. Dl = 2,43·10^-12м.

2). Кинетическая энергия электрона отдачи, согласно закону сохранения энергии, равна разности между энергией ε налетающего фотона и энергией ε' рассеянного фотона.

3). Импульс налетающего фотона, согласно закону сохранения импульса, равен векторной сумме импульса р_ф' рассеянного фотона и импульса р_э электрона отдачи.

Выразим величины импульсов через соответствующие длины волн:

Ответ: 1) Dl = 2,43·10^-12м; 2) Т=

; 3) p_э=1,6· 10 ^-22 кгм/с.

Задача 13. Монохроматический свет с длиной волны λ = 450 нм нормально падает на идеально отражающую плоскую поверхность. Поток излучения Ф _е составляет 0,6 Вт. Определите: 1) силу давления F, оказываемую на эту поверхность; 2) число фотонов N, ежесекундно падающих на поверхность.

Анализ. Электромагнитное излучение оказывает на теладавление. В квантовой теории давление излучения есть следствие того, что фотон обладает импульсом. Фотон при соударении с поверхность тела передаёт ему свой импульс. Импульс поглощённого фотона, переданный поверхности, равен h v /c, а отражённый фотон передаёт импульс 2h v /c (согласно закону сохранения импульса для абсолютно упругого удара и неупругого удара). Если на 1 м² поверхности тела в 1 с падает N фотонов, то при коэффициенте отражения ρ от поверхности отразится ρN фотонов, а (1- ρ)N – поглотится. Исходя из механики, можно показать, что давление излучения, оказываемое на поверхность, равно импульсу, который за время t = 1 с передают N фотонов на единицу площади S = 1 м² поверхности. Учитывая, что один фотон имеет импульс р = hν/с получаем, световое давление:

где Е _е – энергетическая облучённость, т.е. энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени. Поток излучения Ф _е = Е _е S.

Решение: 1. Сила светового давления на поверхность площадью S

Подставив выражение (1) в формулу (2), найдём искомую силу давления

2. Поток излучения (мощность излучения) Ф _е равен энергии фотона, умноженной на число фотонов N, ежесекундно падающих на всю поверхность тела

(3) В формуле (3) использовали величину энергии фотона:

Отсюда искомое число фотонов, падающих в единицу времени на всю поверхность, найдём из формулы (3):

Задача 14. Вся потребляемаямощность электрической 100-ваттной лампочки идёт на излучение. Стенки лампочки отражают 10 % падающего на них света. Определите давление света на стенки лампочки, считая её сферическим сосудом радиуса 3 см.

Анализ. В квантовой теориидавление излучения есть следствие того, что фотон обладает импульсом. Каждый фотон при соударении с поверхностью тела передаёт ей свой импульс. Давление излучения на поверхность равно импульсу, который передают фотоны в 1 секунду на единицу площади:

где ρ – коэффициент отражения от поверхности, с – скорость света

Решение: Облучённость поверхности Е_е, по определению - это энергия всех фотонов, падающих на 1 м²поверхности тела в 1с:

где S – площадь сферической поверхности электрической лампочки с радиусом R; W - энергия света, падающая на поверхность электрической лампочки площадью S за время t.

Подставим в формулу (1) выражения для S и Е_е, найденные в формулах (2), получим расчётную формулу для давления света на стенки электрической лампочки:

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: