|
|
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ • Под дифференцированием функции f(x) мы понимаем нахождение ее производной f ’(x). Нахождение функции f (x) по заданной ее производной называют операцией интегрирова ния.Т.е. операция интегрирования состоит в том чтобы по заданной производной f (х) находят (восстанавливают) функцию f (х) и она является обратной к операции дифференцирования. Например пусть f ‘(х)=4х^3.Следует найти f (х). Опираясь на правила дифференцирования видим что f(х)= х ^4. Действительно (х4)’=4х^3. В качестве f(х) могут бытьиспользо-ваны и такие функции как f(x)=x^4+3;f(x)=x^4-6;f(x)=x^4+1\2; и другие т.к производная каж- дой из данных функций равна 4х^3. Все эти функции отличаются друг от друга толь ко постоянным слагаемым. Общее решение можно записать в виде f(х)=х^4+С,где С-произ- вольное число Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции f’(х)=4х^3.Множество всех первообразных фу-нкции можно представить в виде F(x)+C,где C принадлежит R. • Первообразная функция Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу. Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F(x) дифференцируема и выполняется равенство F¢ (x) = f(x). Из этого определения вытекает,что всякая функ ция по отношению к своей производной являет ся первообразной.Пример;Найти первообраз- ную функции f(x)=4x^3.Используя правила дифференцирования видим что на интервале (-оо;+оо) первообразной является F(x)=x^4. Действительно, F’(x)=4x^3 для всех x принадле жащих (-oo;+oo). Пример;Найти первообразную функции у=х^6 на множестве R. Степень x^6 получается при дифференцировании x^7.Так как (x^7)’=7x^6, то чтобы при дифференцировании x^7 получить перед x^6 коэффициент 1 нужно x^7 взять с коэффициентом 1/7.Следовательно F(x)=(1\7)x^7 • Геометрический смысл первообразной Из геометрического смысла производной следует, что F¢ (x) есть угловой коэффициент касательной к кривой y = F (x) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f (x) – значит найти такую кривую y = F (x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f (x) в этой точке. Геометрически основное свойство первообраз ных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси Оу. Теорема (об общем виде первообразной). Если F (x) – первообразная для функции y = f (x) на промежутке X, то все первообразные для функции y = f (x) имеют вид F (x) + C, где С – произвольная постоянная. Доказательство. Пусть F (x) – первообразная для f (x). Тогда (F (x) + C)' = F '(x) + 0 = f (x), Обратно.Пусть F 1(x) – также первообразная для f (x), то (F 1(x) – F (x))' = F 1'(x) – F '(x) = f (x) – f (x) = 0. Отсюда по следствию теоремы Лагранжа F 1(x) – F (x) = С, или F 1(x) = F (x) + C.
Неопределенный интеграл Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается где ò – знак интеграла,
х – переменная интегрирования. Таким образом Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Достаточным условием интегрируемости функции на промежутке Х является непрерывность функции на этом промежуткеЧтобы проверить правильно ли найден неопреде- ленный интеграл необходимо продифференцировать полученную функцию; если при этом получается подинтегральное выражение то ин теграл найден верно. • Чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции нужно найти какую-нибудь одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл(предварительно преобразовав подынтгральное выражение, если это нужно). Определяют,какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записы-вают эту замену. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение содержащее этот дифференциал Производят замену под интегралом. Находят полученный интеграл. В результате производят обратную замену, т. е.переходят к старой переменной.Результат полезно проверить дифференцированием. Разность F(b)-F(a). ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ • Под дифференцированием функции f(x) мы понимаем нахождение ее производной f ’(x). Нахождение функции f (x) по заданной ее производной называют операцией интегрирова ния.Т.е. операция интегрирования состоит в том чтобы по заданной производной f (х) находят (восстанавливают) функцию f (х) и она является обратной к операции дифференцирования. Например пусть f ‘(х)=4х^3.Следует найти f (х). Опираясь на правила дифференцирования видим что f(х)= х ^4. Действительно (х4)’=4х^3. В качестве f(х) могут бытьиспользо-ваны и такие функции как f(x)=x^4+3;f(x)=x^4-6;f(x)=x^4+1\2; и другие т.к производная каж- дой из данных функций равна 4х^3. Все эти функции отличаются друг от друга толь ко постоянным слагаемым. Общее решение можно записать в виде f(х)=х^4+С,где С-произ- вольное число Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции f’(х)=4х^3.Множество всех первообразных фу-нкции можно представить в виде F(x)+C,где C принадлежит R. • Первообразная функция Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу. Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F(x) дифференцируема и выполняется равенство F¢ (x) = f(x). Из этого определения вытекает,что всякая функ ция по отношению к своей производной являет ся первообразной.Пример;Найти первообраз- ную функции f(x)=4x^3.Используя правила дифференцирования видим что на интервале (-оо;+оо) первообразной является F(x)=x^4. Действительно, F’(x)=4x^3 для всех x принадле жащих (-oo;+oo). Пример;Найти первообразную функции у=х^6 на множестве R. Степень x^6 получается при дифференцировании x^7.Так как (x^7)’=7x^6, то чтобы при дифференцировании x^7 получить перед x^6 коэффициент 1 нужно x^7 взять с коэффициентом 1/7.Следовательно F(x)=(1\7)x^7 • Геометрический смысл первообразной Из геометрического смысла производной следует, что F¢ (x) есть угловой коэффициент касательной к кривой y = F (x) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f (x) – значит найти такую кривую y = F (x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f (x) в этой точке. Геометрически основное свойство первообраз ных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси Оу.   Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
f (x) dx – подынтегральное выражение,