Похідна функції комплексної змінної

Похідною однозначної функції комплексної змінної називається границя відношення , якщо будь-яким способом наближається до нуля. Таким чином, .

Функція, яка має похідну при даному значенні z, називається диференційовною при цьому значеннні z.

Функція називається аналітичною в точці , якщо вона має похідну в точці , а також в деякому околі цієї точки. Функція називається аналітичною в області D, якщо вона має похідну в кожній точці цієї області.

Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існують частинні похідні , , , , що відповідають умовам , , які називаються умовами Коші-Рімана.

Умови Коші-Рімана є необхідними та достатніми умовами диферен-ційовності функції в точці .

Похідна функції виражається через частинні похідні функцій і за допомогою формул

.

Похідні елементарних функцій , , cosz, sinz, lnz, arcsinz, arctgz, shz, chz знаходять за допомогою формул, що правильні для дійсного аргумента:

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Інтеграл від функцій комплексної змінної

Нехай однозначна функція визначена і неперервна в області D, а С – кусково-гладка крива, яка лежить в області D.

Нехай . Тоді

.

Нехай С – кусково-гладка лінія, яка складається із гладких частин ; тоді інтеграл по цій лінії можна визначити за допомогою рівності .

Називатимемо область D однозв'язною, якщо будь-який контур, який лежить всередині області D, можна стягнути в точку, не виходячи за межі області D.

Якщо – аналітична функція в однозв'язній області D, яка обмежена замкненим контуром С, а також в точках цього контуру, то – теорема Коші для однозв'язної області.

Якщо – аналітична функція в однозв'язній області D, то інтеграл не залежить від шляху інтегрування.

Якщо – аналітична функція в однозв'язній області D, яка містить точки і , то має місце формула Ньютона-Лейбніца , де – будь-яка первісна для функцїі , тобто в області D.

Для знаходження первісної функції по відношенню до аналітичної функції застосовуються звичайні формули інтегрування.

Так, наприклад, формула інтегрування частинами має вигляд

.

Якщо крива С задана параметричними рівняннями , , причому початкова та кінцева точки точки кривої С відповідають значенням параметра , то , де .

Розглянемо n +1 замкнених кусково-гладких ліній , таких, що кожна із ліній лежить поза решти інших і всі вони розміщені в середині .

Множина точок, які лежать одночасно в середині і поза , являє собою (n +1) – зв'язну область D, межа якої складається з ліній .

Нехай – аналітична функція в області D, а також на контурах . Тоді має місце рівність

– теорема Коші для багатозв'язної області (при цьому напрям обходу усіх контурів однаковий).

Якщо – аналітична функція в області D, обмеженій кусково-гладким замкненим контуром , , то має місце рівність — інтегральна формула Коші.

Ряди в комплексній області

– степеневий ряд у комплексній області.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається при деякому значенні , то він збігається абсолютно при всіх значеннях z, для яких . Якщо ряд є розбіжним при ,то він є розбіжним також при будь-якому значенні z, для якого .

Область збіжності ряду є кругом з центром у точці , тобто ряд збігається при , де – радіус збіжності. Радіус збіжності можна також знаходити за формулою . – ряд в комплексній області з від'ємними степенями. Такий ряд збігається в області , де .

Ряд Тейлора

Функцію , однозначну і аналітичну в точці ,можна розвинути в околі цієї точки в степеневий ряд Тейлора , коефіцієнти якого можуть бути знайдені за формулами , де – коло з центром в точці , яке повністю лежить в околі точки , в якому функція аналітична.

Найбільш важливі розкладання аналітичних функцій у ряд Тейлора в околі точки :

;

;

;

;

.

Ряд Лорана

Функцію , однозначну і аналітичну в кільці , можна розвинути в цьому кільці в ряд Лорана

,

коефіцієнти якого можуть бути знайдені за формулами , де – коло з центром в точці , яке повністю лежить всередині даного кільця.

Ряд називається головною частиною ряду Лорана, ряд називається правильною частиною ряду Лорана.

Нулі аналітичної функції

Нехай функція є аналітичною в точці . Точка називається нулем функції порядку n, якщо виконуються умови .

Точка тоді і тільки тоді є нулем функції порядку n функції , коли в деякому околі цієї точки має місце рівність , де функція аналітична в точці і .

Ізольовані особливі точки

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо існує такий окіл цієї точки, в якому є аналітичною всюди, окрім самої точки .

Точка називаєтьсяуcувною особливою точкою функції , якщо існує скінченна границя функції в точці .

Точка називаєтьсяполюсом, якщо .

Для того щоб точка була полюсом функції , необхідно і достатньо, щоб ця точка була нулем для функції .

Точка називається полюсом порядку функції , якщо ця точка є нулем порядку n для функції . У випадку n =1 полюс називається простим.

Для того щоб точка була полюсом порядку функції , необхідно і достатньо, щоб функцію можна було зобразити у вигляді , де функція аналітична в точці і .

Точка називається істотно особливою точкою функції , якщо в точці не існує границі.

Лишки функцій

Нехай точка є ізольованою особливою точкою функції . Лишком функції в точці називається число, яке позначається символом (або ) і визначається таким чином , де С – коло з центром в точці достатньо малого радіуса такого, щоб коло не виходило за межі області аналітичності функції і не містило всередині інших особливих точок функції .

Лишок функції дорівнює коефіцієнту при мінус першого степеня в лоранівському розвиненні в околі точки :

.

Лишок вуcувній особливій точці дорівнює нулю.

Якщо точка є полюсом n -го порядку функції , то

.

У випадку простого полюса (n=1) лишок дорівнює

.

Якщо функція в околі точки може бути зображена як частка двох аналітичних функцій , то ,

де , тобто —простий полюс функції .

Якщо точка є істотно особливою точкою функції , то для знаходження необхідно знайти коефіцієнт у лоранівському розвиненні функції в околі точки ; це і буде .

Теорема Коші про лишки

Нехай функція аналітична вобласті D, за винятком скінченного числа особливих точок , і аналітична на С – замкненій межі області D. Тоді має місце формула , денапрям обходу контуру Сдодатний (теорема Коші про лишки).

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: