Методы одномерной минимизации

Метод Свенна - 1

Метод Свенна организует начальную локализацию минимума унимодальной функции, т.е. простой одномерный поиск с удвоением шага, критерием окончания которого является появление признака возрастания функции.

Начальный этап.

(1) задать произвольную начальную точку x₀ÎRⁿ

(2) выбрать начальный шаг h=Dx=0,01

Основной этап

Шаг 1. Установить направление убывания функции. Для этого взять x₂=x₁+h. Если f(x₁) <f(x₂), то поменять направление движения: h₁=-h₁ и взять x₂=x₁+h₁.

Шаг 2. Вычислить f_k в точках x_k+1=x_k+h_k, где k=2,3,4,…,m-1; h_k=2h_k-1 – движение с удвоением шага, до тех пор, пока не придём в точку x_m такую, что f(x_m)<f(x_m-1).

Шаг 3. Установить начальный интервал локализации минимума

a₁=x_m-2

b₁=x_m

double swanna(double &h,double &x1,double &x2)

{

x2=x1+h;

if (f(x2)>f(x1))

{

h=-h;

x2=x1+h;

}

while(f(x2)<f(x1))

{

x1=x2;

x2=x1+h;

h=h*2;

}

return (x2);

}

Метод Свенна - 2

if (x1!=0)

h=0.01*x1;

else

h=0.01;

if (proiz_f(x1)>0)

h=-h;

x2=x1+h;

while (proiz_f(x2)*proiz_f(x1)>0)

{

x1=x2;

x2+=h;

h=2*h;

}

a=x1;

b=x2;

if (b<a)

{

x2=a;

a=b;

b=x2;

}

Метод Свенна - 3

Метод золотого сечения

Метод золотого сечения – это процедура одномерного поиска минимума на интервале [a₁,b₁] или [0,1]. На каждом шаге пробная точка l_k или m_k внутри текущего интервала локализации [a_k,b_k] делит его в отношении, постоянном для всех интервалов - золотое сечение. Можно показать, что , откуда , следовательно , значит . Одним из корней этого уравнения является t₁=0,618 – первое золотое число. Отметим, что t₁²=0,618²=0,382 – второе золотое число. Следует отметить, что в методе золотого сечения имеет место правило симметрии (эквидистантности) точек относительно концов интервала, а также правило одного вычисления, т.е. на каждой итерации требуется одно и только одно новое вычисление (кроме первой итерации), т.к. точки на соседних итерациях совпадают.

Алгоритм ЗС-1

Начальный этап

(1) Выбрать погрешность расчёта e=10^-3¸10^-7. Получить начальный интервал методом Свенна.

(2) Вычислить стартовые точки l₁=a₁+0,382L₁, m₁=a₁+0,618L₁ (следует отметить, что золотые числа следует вычислять точно)

(3) Принять k=1 – счётчик числа итераций

Основной этап

Шаг 1.Сократить ТИЛ рассмотрением 2-х ситуаций:

(1) Если f(l)<f(m),то

a_k+1=a_k

b_k+1=m_k

m_k+1=l_k

l_k=a_k+1+0,382L_k+1

иначе

a_k+1=l_k

b_k+1=b_k

l_k+1=m_k

m_k=a_k+1+0,618L_k+1

(2) Положить k=k+1, L_k+1=|b_k+1-a_k+1|

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска: если |a_k+1-b_k+1|£e - остановиться – минимум найден. Точнее фиксируем аппроксимирующий минимум как . Иначе вернуться на шаг 1.

double GSS(double a, double b) // golden section search - 1

{

double tau1, tau2, lyambda, sigma, eps = 0.001;

tau1 = (sqrt(5.0) - 1) / 2; // золотые числа

tau2 = pow(tau1,2);

lyambda = a + tau2 * abs(b - a); // начальные точки

sigma = a + tau1 * abs(b - a);

while (abs(b - a) > eps) // пока не достигнется нужная точность

{

if (f(lyambda) < f(sigma)) // определение направления сокращения

{

b = sigma; // сокращение интервала

sigma = lyambda;

lyambda = a + tau2 * abs(b - a);

}

else

{

a = lyambda;

lyambda = sigma;

sigma = a + tau1 * abs(b - a);

}

}

return (lyambda + sigma) / 2; // середина интервала - аппроксимирующий минимум

}

Алгоритм ЗС-2

Начальный этап

(4) Выбрать погрешность расчёта e=10^-3¸10^-7. Получить начальный интервал методом Свенна.

(5) Вычислить стартовые точки l₁=a₁+0,382L₁, m₁=a₁+0,618L₁ (следует отметить, что золотые числа следует вычислять точно)

(6) Принять k=1 – счётчик числа итераций

Основной этап

Шаг 1. Взять очередную пробную точку x₂=a_k+b_k-x₁, симметричную исходной и сократить ТИЛ рассмотрением 4-х возможных ситуаций:

(1) Если (x₁<x₂) и (f(x₁)<f(x₂)) то b=x₂;

(2) Если (x₁<x₂) и (f(x₁)>=f(x₂)) то a=x₁;

(3) Если (x₁>x₂) и (f(x₁)<f(x₂)) a=x₂;

(4) Если (x₁>x₂) и (f(x₁)>=f(x₂)) b=x₁;

Увеличить счётчик числа итераций k=k+1

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска: если |a_k+1-b_k+1|£e - остановиться – минимум найден. Точнее фиксируем аппроксимирующий минимум как . Иначе вернуться на шаг 1.

double zoloto2(double a,double b)

{

double tau1,tau2,eps=0.0001,x1,x2;

tau1 = (sqrt(5.0) - 1) / 2; // золотые числа

tau2 = pow(tau1,2);

x1=a+tau1*(abs(b-a));

x2=a+b-x1;

while (abs(b-a)>eps)

{

if ((x1<x2) && (f(x1)<f(x2)))

b=x2;

if ((x1<x2) && (f(x1)>=f(x2)))

{

a=x1;

x1=x2;

}

if ((x1>x2) && (f(x1)<f(x2)))

a=x2;

if ((x1>x2) && (f(x1)>=f(x2)))

{

b=x1;

x1=x2;

}

x2=a+b-x1;

}

return (x1);

}

Метод Фибоначчи

Метод Фибоначчи является процедурой линейного поиска минимума унимодальной функции f(x) на замкнутом интервале [a, b], отличающейся от процедуры золотого сечения тем, что очередная пробная точка делит интервал локализации в отношении двух последовательных чисел Фибоначчи. Последовательность чисел Фибоначчи задаётся условиями F₀ = F₁ = 1, F_k+1 = F_k + F_k-1, k = 1,2,... Начальными членами последовательности будут 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Стратегия поиска Фибоначчи требует заранее указать n - число вычислений минимизируемой функции и e - константу различимости двух значений f(x). Рассмотрим один из возможных вариантов метода.

int Fib(int n) // n-ое число Фибоначчи

{

if (n > 1)

return Fib(n-1)+Fib(n-2);

else return 1;

}

Алгоритм Фибоначчи-1

Начальный этап

(1) Задать константу e, начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервала L_n и определить число n так, чтобы выполнялось условие F_n > (b₁ - a₁)/L_n.

(2) Взять две пробные точки l₁ = a₁ + (F_n-2/F_n)(b₁ - a₁) и m₁ = a₁ + (F_n-1/F_n)(b₁-a₁). Положить k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Сократить текущий интервал локализации:

(1) Если f(l_k) < f(m_k), то положить a_k+1 = a_k, b_k+1 = m_k,m_k+1 =l_k и вычислить новую точку l_k+1 = a_k+1 + (F_n-k-2/F_n-k)L_k+1, где L_k+1 = b_k+1 - a_k+1; перейти на шаг 2.

(2) Если f(l_k)>> f(m_k),то положить a_k+1 =l_k, b_k+1 = b_k, l_k+1 = m_k и вычислить m_k+1 = a_k+1 + (F_n-k-1/F_n-k) L_k+1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

(1) Заменить k на k+1. (2) Если k = n - 1, перейти на шаг 3, иначе - на шаг 1.

Шаг 3. Найти аппроксимирующий минимум х^(*):

(1) Положить m_k = l_k + e.

(2) Если f(l_k) > f(m_k), то x^(*) = (l_k + b_k)/2. В противном случае - x^(*) = (a_k + m_k)/2.

double Fibonacci(double a, double b, int &kFib) // Fibonacci - 1

{

double lyambda, mu, eps = 0.0001, Ln = eps * 0.01;

int n = 0;

while (Fib(n) < (b - a) / Ln) // вычисление числа n

n++;

lyambda = a + (Fib(n - 2)*(b - a)) / Fib(n); // начальные точки

mu = a + (Fib(n - 1)*(b - a)) / Fib(n);

while (kFib < n - 1) // КОП: k = n - 1

{

if (f(lyambda) < f(mu)) // определение направления сокращения

{

b = mu; // сокращение интервала

mu = lyambda;

lyambda = a + (Fib(n - kFib - 2)*(b - a)) / Fib(n - kFib);

}

else

{

a = lyambda;

lyambda = mu;

mu = a + (Fib(n - kFib - 1)*(b - a)) / Fib(n - kFib);

}

kFib++;

}

if (f(lyambda) > f(mu)) // определение конечного интервала

return (lyambda + b) / 2; // середина интервала - аппроксимирующий минимум

else return (a + mu) / 2;

}

Алгоритм Фибоначчи-2

Начальный этап

(1) Задать константу e, начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервала L_n и определить число n так, чтобы выполнялось условие F_n > (b₁ - a₁)/L_n.

(2) Выбрать одну пробную точку . Положить

k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Проверить критерий окончания поиска: если k=n, то остановиться и положить x*=x₂.

Шаг 2. Сократить текущий интервал локализации рассмотрением 4-х ситуаций, аналогично методу золотого сечения-2.

double fibonachchi2(double a,double b,int n)

{

double x1,x2,eps=0.0001;

x1=a+(Fib(n-1)/Fib(n))*(abs(a-b));//+ (pow(-1,n))*eps/Fib(n);

int k = 1;

x2=a+b-x1;

while (k!=n)

{

if ((x1<x2) && (f(x1)<f(x2)))

b=x2;

if ((x1<x2) && (f(x1)>=f(x2)))

{

a=x1;

x1=x2;

}

if ((x1>x2) && (f(x1)<f(x2)))

a=x2;

if ((x1>x2) && (f(x1)>=f(x2)))

{

b=x1;

x1=x2;

}

x2=a+b-x1;

k++;

}

return x1;

}

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: