Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема 2. Область определения функции. Предел функции.





Тема 1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

Для продуктивной деятельности в современном ин­формационном мире требуется достаточно прочная базо­вая математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в тради­ционно далекие от нее области. Интенсивная математи­зация различных областей человеческой деятельности осо­бенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Ком­пьютеризация общества, внедрение современных инфор­мационных технологий требуют математической грамот­ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый мате­матикой.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количествен­ные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей до достаточно сложных, необ­ходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современ­ней техники ,восприятие научных знаний, восприятие и интерпретации разнообразной социальной, экономической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, находить в справочниках и использовать нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. И, наконец, все больше профессий, тре­бующих высокого уровня образования, связано с непо­средственным применением математики (экономика, биз­нес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое).

Важным для жизни в современном обществе также является формирование математического стиля мышле­ния, проявляющегося в определенных умственных навы­ках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естествен­ным образом включаются индукция и дедукция, обобще­ние и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты ма­тематических умозаключений и правила их конструирова­ния вскрывают механизм логических построений, выраба­тывают умения формулировать, обосновывать и доказы­вать суждения, тем самым развивают логическое мышле­ние. Ведущая роль принадлежит математике в формиро­вании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.



Использование в математике, наряду с естественным, нескольких математических языков дает возможность раз­вивать у учащихся чувство точности, экономности, инфор­мативности речи, формировать умение точно выразить мысль, отобрав для этого наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.

 

 

Тема 2. Область определения функции. Предел функции.

Область определения функции с одной независимой переменной

Пусть переменная хпринимает числовые значения из множе­ства Е.

Определение. Функция -это правило, которое каждому числу хиз Есопоставляет одно определенное число у.

При этом хназывают независимойпеременной или аргументомфункции, а у -зависимойпеременной; множество Е - областьюопределенияили областью заданияфункции. Множество значений, принимаемых переменной у,называется множеством значенийили областью измененияфункции.

Запись y=f(x)или у(х)означает, что узависит от х.Бук­ва fсимволизирует правило, по которому получается значение у,соответствующее данному значению хиз множества Е.

Вместо букв х, Е, у,f(x)используются и любые другие бук­вы и обозначения.

Задать функцию y=f(x)на множестве Е— это значит указать правило, по которому для каждого хиз Еполучается соответ­ствующее ему значение у.

Предел переменной величины

Пусть переменная величина хв процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом сле­дующие значения: 4,9; 4,99; 4,999; ... или 5,1; 5,01; 5,001; .... В этих случаях модуль разности | х- 5| стремится к нулю: |х - 5|= 0,1; 0,01; 0,001;....

Число 5 в приведенном примере называют пределомпере­менной величины хи пишут lim x = 5.

Определение. Постоянная величина а называется пределомпеременной х,если модуль разности | х – а|при изменении хстановится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа ԑ.

Итак, lim x=a(предел хравен а) или х→а ( хстремится к а).

Замечания.1. Предел постоянной величины равен самой постоянной: lim a = a, так как | а—a|< ԑ.

2. Переменная величина может иметь только один предел.

3. Предел положительной переменной величины не отрицателен, пре­дел отрицательной переменной величины не положителен.

Пример. Показать, что при t → ∞ предел переменной величины равен 3.

Решение. Находим разность между переменной величиной хи число 3: x– 3 =

Если t → ∞ , то →0. Значит, выполняется условие | x-3|< ԑ и, следовательно, .

 

Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменныхвеличин равен алгебраической сумме пределов слагаемых: lim ( x+y+…+t)= lim x+ lim y+ … + lim t

2.Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов: lim ( xyt)= lim x lim y lim t

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim (c x)= lim c lim x= c lim x

4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю: , если lim y≠ 0

5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной: lim xn = (lim x) n

6. Если переменные х, у, z удовлетворяют неравенствамxyz иxa,za, тоy→a.

Предел функции в точке

Выше мы рассматривали независимые переменные величины, каждая из которых стремится к своему пределу независимо от другой.

Пусть теперь даны две переменные величины хи у,связанные функциональной зависимостью y=f(x).Рассмотрим вопрос о пре­деле функции при условии, что задан предел ее аргумента.

Если при х,стремящемся к а, функция f(x)стремится к b ,то говорят, что предел функции f(x)в точкех=аравен b и пишут .

Отметим, что во всем дальнейшем изложении, где говорится о пределе функции в точке а,будем предполагать, что функция определена в некоторой окрестности точки а.В самой же точке афункция может быть не определена.

Замечание.За окрестность точки а принимается любой интервал, содержащий точку а.

Определение .Число bназывается пределомфункции f(x)в точке а, если для всех значений х,достаточно близ­ких к аи отличных от а, значения функции f(x)сколь угод­но мало отличаются от числаb.

Пример. Найти .

Решение. Используя последовательно свойства 1, 3 и 5 предела, получим

 

3∙2 2 - 2∙2=8

 

 

Два замечательных предела

 

 

 

 

Производная функции

Уравнение касательной к кривой в точке М 1 ( x0,y0) (рис. 2.12) и имеющий угловой коэффициент k= f'(x0), т.е. yf(x0)=f'(x0)(xx0)

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y=x2 – 2x+3в ее точке с абсциссой x0= 2.

Решение. Находим: f(x0)=y(2)=3,f'(x0)=y' (2) = (2x-2)x=2=2

Подставив найденные значения f(x0)и f'(x0)в формулу , найдем искомое уравнение касательной y – 3=2(x - 2)или 2x-y-1=0.

Производная функции

Уравнение касательной к кривой в точке М 1 ( x0,y0) (рис. 2.12) и имеющий угловой коэффициент k= f'(x0), т.е. yf(x0)=f'(x0)(xx0)

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y=x2 – 2x+3в ее точке с абсциссой x0= 2.

Решение. Находим: f(x0)=y(2)=3,f'(x0)=y' (2) = (2x-2)x=2=2

Подставив найденные значения f(x0)и f'(x0)в формулу , найдем искомое уравнение касательной y – 3=2(x - 2)или 2x-y-1=0.

Построение графика функции

 

 

Задание к модулю

Задание 1. Найти область определения функций:

a) ;

b)

 

Задание 2 . Вычислить пределы :

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

 

Задание 3 . Найти производную функций :

a) y = ;

b) y = sin3 2x;

c) y =arccos ;

d) y = ln cos x.

Задание 4. Найти интервалы монотонности функции :

y=x2 -4x+1

Задание 5. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию :

y= 4x+x2

 

Задание 6.Найти наибольшее и наименьшее значения функции :

y=x3 -6 на отрезке [-3; 4]

 

 

Тема 1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

Для продуктивной деятельности в современном ин­формационном мире требуется достаточно прочная базо­вая математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в тради­ционно далекие от нее области. Интенсивная математи­зация различных областей человеческой деятельности осо­бенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Ком­пьютеризация общества, внедрение современных инфор­мационных технологий требуют математической грамот­ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый мате­матикой.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количествен­ные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей до достаточно сложных, необ­ходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современ­ней техники ,восприятие научных знаний, восприятие и интерпретации разнообразной социальной, экономической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, находить в справочниках и использовать нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. И, наконец, все больше профессий, тре­бующих высокого уровня образования, связано с непо­средственным применением математики (экономика, биз­нес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое).

Важным для жизни в современном обществе также является формирование математического стиля мышле­ния, проявляющегося в определенных умственных навы­ках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естествен­ным образом включаются индукция и дедукция, обобще­ние и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты ма­тематических умозаключений и правила их конструирова­ния вскрывают механизм логических построений, выраба­тывают умения формулировать, обосновывать и доказы­вать суждения, тем самым развивают логическое мышле­ние. Ведущая роль принадлежит математике в формиро­вании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

Использование в математике, наряду с естественным, нескольких математических языков дает возможность раз­вивать у учащихся чувство точности, экономности, инфор­мативности речи, формировать умение точно выразить мысль, отобрав для этого наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.

 

 

Тема 2. Область определения функции. Предел функции.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.