Проблема связанных (одинаковых) рангов

В измерениях часто встречаются одинаковые значения. При их ранжиро­вании возникает проблема связанных рангов (Лей Капкз). В этом случае дей­ствует особое правило ранжирования: объектам с одинаковыми значениями

приписывается один и тот же, сред­ний ранг. Например, когда эксперт

не может установить различие меж­ду двумя лучшими образцами това­ра, им приписывается одинаковый ранг: (1 + 2)/2 = 1,5. Это сохраняет неизменной сумму рангов для вы­борки объемом К. уУ(А^г+ 1)/2.

При наличии одинаковых (связан­ных) рангов формулы ранговой корре­
ляции Спирмена (6.6) и Кендалла (6.7 и 6.8) не подходят. Хотя сумма рангов и не меняется, но изменчивость данных становится меньше. Соответственно, умень­шается возможность оценить степень связи между измеренными свойствами.

При использовании корреляции Спирмена в случае связанных рангов возмож­ны два подхода:

О если связей немного (менее 10% для каждой переменной), то вычис­лить г-Спирмена приближенно по формуле 6.6; □ при большем количестве связей применить к ранжированным данным классическую формулу /--Пирсона 6.1 — это всегда позволит опреде­лить ранговую корреляцию независимо от наличия связей в рангах.

При использовании корреляции т-Кендалла в случае наличия связанных ран­гов в формулу вносятся поправки, и тогда получается общая формула для вы­числения т коэффициента корреляции х_ь-Кендалла (КепёаИ'з 1аи-Ь) независи­мо от наличия или отсутствия связей в рангах:

_Та=___________ РЧ1___________ ₅

где Х_х -(1 -1) (' ~~ количество групп связей по Х,^ — численность

каждой группы); к =(1 ^ ~ количество групп связей по У,/,—

численность каждой группы').

ПРИМЕР 6.6____________________________________________________________________________________

Подсчитаем поправочные коэффициенты: К_х= (1/2)[(3(3 - 1)] = 3; К_у= (1/2)[3(3 - — 1) + 3(3 — 1)] = 6. Подставим полученные значения в формулу 6.9:

²°-° поо

т„ =. = 0,853.

7(8 х 7/2)-3 7(8x7/2) -6

Заметим, что инверсии отсутствуют, и если бы связей в рангах не было, то корреля­ция была бы строго прямой (равна 1).

КОРРЕЛЯЦИЯ БИНАРНЫХ ДАННЫХ

Как отмечалось ранее, если одна из двух переменных представлена в но­минативной шкале, а другая — в числовой (ранговой или метрической), то связь между этими переменными лучше изучать путем сравнения групп по уровню выраженности числовой переменной.

ПРИМЕР_________________________________________________________________________

Предположим, исследуется связь количества пропущенных лекций студентами и курса обучения (с 1-го по 5-й). Первая переменная — метрическая, а вторая — но­минативная. Связь между этими переменными может быть изучена путем сравне­ния разных курсов по количеству пропущенных лекций (по средним значениям). Если будут обнаружены различия между курсами, то посещаемость лекций связана с курсом обучения, в противном случае — связи нет.

То же касается проблемы изучения связи между двумя номинативными переменными. Хотя и для этого случая существуют коэффициенты корреля­ции (К— Чупрова, С — Пирсона), но возможность их интерпретации весьма ограничена, в частности потому, что они отражают лишь силу связи, но не ее направление. Поэтому и в этом случае проблему связи между двумя номина­тивными переменными лучше изучать путем сравнения градаций одной пе­ременной по распределению другой переменной.

ПРИМЕР_________________________________________________________________________

Предположим, исследуется связь агрессивности учащихся (три градации: низкая, средняя, высокая) и образования их родителей (среднее, высшее техническое, выс­шее гуманитарное). Результаты исследования связей двух номинативных перемен­ных обычно представляются в виде таблицы сопряженности:

Связь между этими переменными может быть изучена путем сравнения распреде­лений учащихся по степени агрессивности для разных градаций образования роди­телей (или, что то же самое, путем сравнения распределения образования родите­лей для разных градаций степени агрессивности учащихся).

Исключением можно считать случай изучения связи двух бинарных перемен­ных. Бинарная переменная имеет только две градации, обычно обозначаемые как О и 1. Примеры таких переменных: пол (мужской, женский), образование (сред­нее, высшее), тревожность (низкая, высокая), успешность (низкая, высокая) и т. д.

При изучении связей между бинарными переменными обычно строят че- тырехклеточные таблицы сопряженности:

Таблица 6.1

Таблица сопряженности 2x2