Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА





Плоским или плоскопараллельным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных данной фиксированной плоскости, неизменно связанной с неподвижной системой отсчёта. Эту плоскость называют направляющей плоскостью. Примерами плоского движения могут служить: качение колеса по прямолинейному рельсу, движение звеньев кривошипно-шатунного механизма,… Частными случаями плоского движения являются вращательное, поступательное (при плоском характере траекторий точек тела). Изучение плоского движения сводится к анализу движения плоской фигуры, полученной сечением тела плоскостью, параллельной направляющей плоскости.

Рис. 1. 10. Плоское движение твердого тела

Положение плоской фигуры в её плоскости определяется двумя точками, например А и В (рис.1.10). Координаты этих точек связаны между собой условием постоянства длины отрезка АВ. Поэтому независимыми будут не четыре координаты , а только три. Обычно, при аналитическом методе описания плоского движения вводят в рассмотрение следующие три параметра:

.

Зависимости этих параметров от времени называют кинематическими уравнениями плоского движения.

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Движение плоской фигуры можно разложить на поступательное, вместе с полюсом, и вращательное вокруг полюса. Полюсом называем произвольную точку, выбранную из каких-либо соображений для описания плоского движения.

Для доказательства рассмотрим два положения плоской фигуры в моменты времени и (рис.1.10). Переместим фигуру поступательно из положения в положение . При этом точка описывает такую же траекторию как и точка . Затем повернём фигуру вокруг точки на угол так, чтобы точка заняла положение . Перевод фигуры из начального положения в конечное можно произвести различными способами, выбирая за полюс вместо точки А любую другую, например, точку В. Заметим, что при этом поворот будет осуществляться на тот же угол и в том же направлении. Т. е. последнее из уравнений движения плоской фигуры является инвариантным (независимым) от выбора полюса. Значит и угловая скорость как производная от угла поворота не зависит от выбора полюса. Поступательное движение можно принять за переносное, а вращательное — за относительное.

Теорема о скоростях плоской фигуры

Скорость произвольной точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса.

Подвижную систему координат выберем так, чтобы начало её совпадало с точкой А, принятой за полюс (рис.1.11). Рассмотрим движение произвольной точки В. Эта точка совершает составное движение, — поступательное вместе с подвижной системой координат и вращательное вокруг полюса. Согласно теореме сложения скоростей точки в составном движении, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:



.

Рис. 1. 11. Скорости точек в плоском движении твердого тела

Но переносное движение является поступательным. Все точки, участвующие в нём, имеют одинаковые скорости, равные скорости полюса. Относительная скорость — это скорость во вращении точки В вокруг полюса.

.

Поэтому абсолютная скорость точки "В" может быть представлена в виде суммы

.

Из доказанной теоремы вытекают два следствия:

· проекции скоростей точек плоской фигуры, расположенных на одной прямой, на направление этой прямой, равны друг другу;

· концы векторов скоростей точек прямолинейного отрезка на плоской фигуре располагаются на одной прямой и делят её на части, пропорциональные расстояниям между точками.

Эти следствия очевидны и иллюстрируются рис.1.12

Рис. 1. 12. Теорема о сложении скоростей (следствия)

Мгновенный центр скоростей

В любой момент времени в плоскости фигуры при её непоступательном плоском движении существует одна единственная точка, скорость которой равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС).

Пусть скорость точки А плоской фигуры известна и равна . Разложим движение на поступательное вместе с точкой А и вращение вокруг этой точки. Согласно теореме сложения скоростей (рис.1.13)

.

Будем искать положение такой точки, у которой скорость в данный момент времени равна нулю. Поэтому

.

Из свойств векторного произведения следует, что вектор перпендикулярен векторам угловой скорости и скорости . Расстояние от точки А до искомой точки определится формулой

Найденная таким образом точка "Р" и является мгновенным центром скоростей.

Рис. 1. 13. Мгновенный центр скоростей

Очевидно, если за полюс взять другую точку плоской фигуры, допустим точку С, то, согласно доказанному выше, МЦС. должен находиться на перпендикуляре, проведённом из точки С к скорости этой точки (рис.1.13). Таким образом, МЦС. есть точка пересечения перпендикуляров к скоростям точек плоской фигуры.

Если теперь за полюс принять точку Р, то переносная скорость любой другой точки будет равна нулю. Тогда абсолютная скорость произвольной точки плоской фигуры будет равна её скорости во вращательном движении около МЦС.

Зная положение МЦС и угловую скорость плоской фигуры, можно определить скорость любой точки в данный момент времени так же как определяется скорость точки вращающегося тела. Как уже было сказано, МЦС определяется для данного положения плоской фигуры. В соседнем положении мгновенным центром скоростей является другая точка.

 

Свойства мгновенного центра скоростей:

, ,
, ,

 

Примеры определения МЦС.

При качении колеса радиуса r по шероховатой поверхности без проскальзывания, МЦС находится в точке касания колеса с неподвижной поверхностью

Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны, но не равны друг другу, то (см. рис.1.14 а, в)

 

Рис. 1. 14. Скорости точек в плоском движении твердого тела

В случае равенства параллельных скоростей (см. рис.1.14 б) МЦС. находится в бесконечности.

Угловая скорость фигуры при этом равна нулю. Скорости всех точек равны. Говорят, что фигура совершает в рассматриваемый момент времени мгновенно поступательное движение, которое отличается от поступательного движения тем, что ускорения различных точек при этом не обязательно равны:

Если скорости двух точек антипараллельны, то (см. рис.1.14 в)









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.