УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ОБЪЕМНОГО

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Величина напряжений в теле, нагруженном силами и находя­щемся в равновесии, в общем случае непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. напряжения являются непрерывными функ­циями координат. Выделим в напряженном теле элементарный параллелепипед (рис. 3.10) с гранями, параллельными коорди­натным плоскостям, и выясним, какие существуют условия, обеспечивающие его равновесие.

Пусть одна из напряженных точек а с координатами х, у, z отображается гранями параллелепипеда abcd, adb'c' и ac'd'b. Вторая точка отстоит от на бесконечно малое расстояние, и соответственно этому координаты ее будут х + dx, у + dy и z + dz. Эта точка отображается гранями параллелепипеда a'b'c'd', a'd'bc и a'cdb'. Понятно, что размеры ребер параллеле­пипеда равны dx, dy и dz.

Рис.3.10. Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Пусть напряженное состояние точки определяется тензором напряжений

Напряжения в точке ' отличаются от напряжений в точке на бесконечно малые величины. Пренебрегая членами высших порядков, можно принять, что приращение каждого напряжения выражается частным дифференциалом по той координате, по которой переместилась площадка действия данного напряжения, т. е. по координате, указываемой индексом адреса напряжения. Тогда тензор напряжений для точки '

Усилия, действующие по граням параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площади соответствующих гра­ней, указываемых индексами адреса напряжения.

Составляем условия равновесия, взяв суммы проекций всех сил на оси координат и приравнивая эти суммы нулю.

На ось х

Раскрывая скобки и сокращая на dxdydz, получим

Суммы проекций на оси и можем написать по аналогии.

В результате получим

(3.38)

Таким образом, мы получили условия равновесия для объем­ного напряженного состояния в виде дифференциальных урав­нений в частных производных.

Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела.

Напряжения меняются по объему тела, и в элементах, выхо­дящих на поверхность, их величина должна быть такой, чтобы уравновешивать внешнюю нагрузку, действующую на поверх­ностную грань [5], т.е. удовлетворять поверхностным усло­виям или условиям на контуре.

Связать напряжение в бесконечно малом элементе тела, вы­ходящем на его поверхность, с внешней нагрузкой можно, исполь­зуя уравнения (3.3). Действительно, в общем случае элементар­ный участок поверхности тела можно рассматривать как наклон­ную грань элементарного тетраэдра.

Три дифференциальных уравнения равновесия (3.38) содер­жат шесть неизвестных (учитывая, что касательные напряжения попарно равны между собой), и, следовательно, для их решения требуются дополнительные уравнения. Таким образом, объем­ная задача в общем случае является статически неопределимой.

3.11. О СЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Одним из частных случаев объемного напряженного состоя­ния, весьма часто встречающимся при обработке металлов давле­нием, является осесимметричное напряженное состояние.

Под этим видом напряженного состояния подразумевается напряженное состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, рас­положенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 3.11а). Примерами могут служить осадка цилиндрической заготовки, ее прошивка, выдав­ливание (прессование), волочение и др.

При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния весьма удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором , полярным углом , отсчитываемым от оси (х)и аппликатой , как представлено на рис. 3.11б, где а — проекция точки А на плоскость, перпендикулярную к оси , проходящую через точку О. Обозначения напряжений в цилиндри­ческих координатах и форма элемента показаны на рис. 3.13.

Тензор напряжений в цилиндрических координатах запишется так:

(а) (б)

Рис.3.11. Осесимметричное напряженное состояние

Напряжение называют радиальным, — тангенциаль­ным, а — осевым.

При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты , и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравне­ниях равновесия обратятся в нуль. Кроме того, в меридиональ­ных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось , т. е. пло­скостях ) не могут возникнуть касательные напряжения вслед­ствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки.

Рис. 3.12. Форма элемента и напряжения в цилиндрической

Системе координат

Поэтому с учетом закона пар­ности касательных напряжений

Следо­вательно, напряжение всегда будет главным, т. е. , a ось может иметь любое направ­ление в плоскости (т. е. в пло­скости, нормальной к оси ).

Таким образом, компоненты напряжений при осесимметричном напряженном состоянии можно записать так:

Рис. 3.13. Напряжения, действующие на элемент при осесимметричном

Напряженном состоянии

Всего будет три нормальных и два равных между собой каса­тельных напряжения.

Применяя тот же метод, который был использован при рас­смотрении объемного напряженного состояния в декартовых коор­динатах (стр. 100), выведем дифференциальные уравнения рав­новесия в цилиндрических координатах для осесимметричного напряженного состояния.

Действующие напряжения показаны на рис. 3.14. Ось , как сказано ранее, можно провести в любом направлении на плоскости z. Для удобства вычисления на рис. 3.14 эта ось про­ведена так, что плоскость является плоскостью симметрии выделенного элементарного объема.

Площади элементарных площадок

= пл. abcd = dz;

= пл. a'b'c'd' =

= пл. a'd'bc = ;

= пл. a'cdb' — пл. ac'd'b = .

Запишем условия равновесия, проецируя все действующие на элемент силы на оси

и , принимая

(a)

Рис.3.14. Сферическая система координат

(б)

После алгебраических преобразований и сокращений, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим

(3.39)

При решении некоторых осесимметричных задач в дальнейшем придется встретиться кроме цилиндрических координат со сфе­рическими. В этой системе (рис. 3.15) положение точки опреде­ляется радиус-вектором и двумя углами и , определяю­щими его положение в пространстве. Угол отсчитывается от оси (аналогичен географической широте), а угол отсчитывается от некоторой оси в плоскости, нормальной к оси и проходящей через центр О системы (аналогичен географической долготе). Обозначения напряжений в сферических координатах получим, заменив индекс в обозначениях, данных для цилиндрической системы, индексом .

При осесимметричном напряженном состоянии напряжения не зависят от координаты , а касательные напряжения, содер­жащие в индексе эту координату, т. е. и , равны нулю.

Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния в сферических координатах при­ведем без вывода:

'

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: