Связь полей линий скольжения с полями скоростей

Задача построения поля линий скольжения, вообще говоря, не имеет единственного решения. Правильно построенное возможное поле линий скольжения, удовлетворяя условиям равновесия, уравнениям связи напряжений и деформаций и заданным граничным условиям в напряжениях, может оказаться не соответствующим условиям кинематическим. Теория пластичности доказывает, что таким статически возможным полем линий скольжений, но не удовлетворяющим кинематическим условиям, определяется «нижняя оценка» удельного усилия деформирования.

Для определения же так называемого действительного значения удельного усилия деформирования необходимо, чтобы поле линий скольжения удовлетворяло и кинематическим условиям. Поэтому для получения соответствующего полного решения необходимо строить поля скоростей или годографы. Поля скоростей вместе с тем дают возможность определять направления перемещений и судить о характере деформированного состояния.

Выведем прежде всего уравнения, которым должны удовлетворять скорости перемещений вдоль линий скольжения. Для этого выразим компоненты вектора скорости перемещения и через его компоненты и по направлениям произвольной пары пересекающихся линий скольжения и (рис. 8.29).

Рис. 8.29. Схема к выводу уравнений Гейрингер

На основании элементарных формул аналитической геометрии (перемена направлений осей координат) следует

; (а)

Дифференцируем эти уравнения соответственно по элементам дуг линий скольжения систем и , т. е. первое по , а второе по :

Но согласно рис. 8.29

;

;

Следовательно, на основании первого уравнения системы (а) получим

Аналогично на основании второго уравнения системы (а) выводим

Но согласно уравнениям (4.27) и (4.29) и учитывая, что рассматривается плоская деформация ( = 0), можно написать

Поэтому из предыдущих двух уравнений получим

Из этих выражений окончательно получим искомые уравнения, которым должны удовлетворять скорости перемещений вдоль линий скольжения:

(8.63)

Эти уравнения принадлежат Г. Гейрингер. Они представляют собой также уравнения неразрывности и отражают, что скорости линейных деформаций вдоль линий скольжения равны нулю. Из уравнений Г. Гейрингер непосредственно следует, что в простых полях линий скольжения компоненты скоростей вдоль каждой из прямых линий скольжения постоянны. В центрированном поле эти скорости являются функциями только угла . С помощью уравнений

Г. Гейрингер можно построить план скоростей по известному полю линий скольжения.

Разрывы напряжений и скоростей

Из сопротивления материалов известно, что при упругом изгибе бруса в условиях плоской деформации нормальные напряжения изменяются по линейному закону, как показано на рис.8.30, а, переходя от растяжения к сжатию через нуль на нейтральной линии. По мере увеличения изгибающего момента напряжения на поверхности будут увеличиваться и в какой-то момент достигнут величины * в зоне растяжения и — * в зоне сжатия (рис.8.30, а — штриховая линия).

При чистом пластическом изгибе упругие зоны полностью отсутствуют, а эпюра на­пряжений получит вид, представленный на рис.8.30, б. На нейтральной поверхности нормальное напряжение = * изменяется скачком от величины * до величины – , т. е. наблюдается так называемый разрыв нормальных напряжений.

Рис.8.30. Схема распределения нормальных напряжений при

Упругом (а) и пластическом изгибе (б)

Не всегда бывает возможно построить решение с непрерывными напряжениями, и поэтому в современной теории пластичности получили распространение так называемые разрывные решения.

Линию разрыва на­пряжений можно рассматривать как предельный случай, при котором тонкая упругая мем­брана разделяет две пластиче­ские области [60]. В теории пластичности доказан ряд положений [52], характеризующих особенности, присущие разрыву напряжений

Рис. 8.31. Изменение нормальных и Рис. 8.32. Изменение направления линий

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: