Закон сохранения импульса. Центр масс
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Закон сохранения импульса. Центр масс





Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп­ность материальных точек (тел), рассмат­риваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодей­ствия между материальными точками ме­ханической системы называются внутрен­ними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механиче­скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направле­ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2,..., mn и , , ..., . Пусть , , ..., - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a , , ..., - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

( m1 ) = + ,

( m2 ) = + ,

( mn ) = + .

Складывая почленно эти уравнения, получим

(m1 +m2 +…+mn ) = + +… + + + +…+ .

Но так как геометрическая сумма внутрен­них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

( m1 + m2 +… + mn ) = + +…+ ,

или

= + +…+ , (2.18)

где = - импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна гео­метрической сумме внешних сил, действу­ющих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

= =0 ,

т. е.

= =const. (2.19)

Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.



Закон сохранения импульса справед­лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со­хранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса представляет собой один из фундаментальных законов природы и проявляется в целом ряде явлений. В частности, он лежит в основе реактивного движения, проявляется в процессе соударения тел.

Этот закон является следствием определенного свойства сим­метрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что согласно (2.18), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея - Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ско­рость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

, (2.20)

где mi, и - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n - число материальных точек в системе; m = - масса системы.

Скорость центра масс

.

Учитывая, что = , a есть импульс системы, можно написать

, (2.21)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (2.21) в уравне­ние (2.18), получим

m = + +…+ , (2.22)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (2.22) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (2.21) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.

 

ГЛАВА 3. ЭНЕРГИЯ, КАК УНИВЕРСАЛЬНАЯ МЕРА

РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ДВИЖЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

 

Энергия, работа, мощность

Энергия - универсальная мера различ­ных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения мате­рии связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит­ную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холод­ное), в других — переходит в иную фор­му (например, в результате трения меха­ническое движение превращается в тепло­вое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействую­щими телами, в механике вводится по­нятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол ά с на­правлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs = F cosά), умноженной на перемещение точки приложения силы:

A = Fs s = Fs cosά. (3.1)

В общем случае сила может изменять­ся как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (3.1) пользоваться не­льзя. Если, однако, рассмотреть элемен­тарное перемещение , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элемен­тарной работой силы на перемещении называется скалярная величина

= = Fcosά · ds = Fs ds,

где ά - угол между векторами и ; ds = | | — элементарный путь; Fs - про­екция вектора на вектор (рис. 3.1).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сум­ма приводится к интегралу

A = . (3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы Fs от пути s вдоль тра ектории 1-2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 2), тогда искомая работа А определяется на графи­ке площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F = const и ά = const, то получим

А = ,

где s - пройденный телом путь (см. также формулу (3.1)).

Из формулы (3.1) следует, что при ά < π/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая s совпадает по направлению с вектором скорости дви­жения (см. рис. 3.1). Если ά > π/2, то работа силы отрицательна. При ά = π/2 (сила направлена перпендикулярно пере­мещению) работа силы равна нулю.

Единица работы- джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н·м).

Чтобы охарактеризовать скорость со­вершения работы, вводят понятие мощ­ности:

N = (3.4)

За время Δt сила совершает работу , а мощность N, развиваемая этой силой, в данный момент времени равна

N = , (3.5)

т. е. равна скалярному произведению век­тора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.