Кинетическая и потенциальная энергии
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Кинетическая и потенциальная энергии





Кинетическая энергия Wк механической системы - это энергия механического движения этой системы.

Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает рабо­ту, а энергия движущегося тела возраста­ет на величину затраченной работы. Таким образом, работа δА силы на пути, кото­рый тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии dWк тела, т. е.

δА = dWк.

Используя второй закон Ньютона = m и умножая обе части равен­ства на перемещение , получим

= m .

Так как , то

δA = m d =mυdυ = dWк,

откуда

.

Таким образом, тело массой m, движущее­ся со скоростью υ, обладает кинетической энергией

Wк = mυ2/2 . (3.5)

Из формулы (3.4) видно, что кинети­ческая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее дви­жения. При выводе формулы (3.4) предпола­галось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за­коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг отно­сительно друга, скорость тела, а следова­тельно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетиче­ская энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия Wp- механиче­ская энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характе­ром сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществля­ется посредством силовых полей (напри­мер, поля упругих сил, поля гравитацион­ных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими сила­ми при перемещении тела из одного поло­жения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение прои­зошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля на­зываются потенциальными, а силы, дей­ствующие в них, - консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной;ее примером является си­ла трения.



Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией Wp. Работа консервативных сил при элемен­тарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

δA = dWp. (3.6)

Работа δA выражается как скалярное произведение силы на перемещение и выражение (3.6) можно записать в виде

= - dWp. (3.7)

Следовательно, если известна функция Wp( ), то из формулы (3.7) можно найти силу по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (3.7) как

Wp = + C,

где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной по­стоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциаль­ную энергию тела в каком-то определен­ном положении считают равной нулю (вы­бирают нулевой уровень отсчета), а энер­гию тела в других положениях отсчитыва­ют относительно нулевого уровня.

Для консервативных сил

Fx = - , Fy = - , Fz = - ,

или в векторном виде

= - gradWp , (3.8)

где

gradWp = + + (3.9)

( , , - единичные векторы координат­ных осей). Вектор, определяемый выраже­нием (3.9), называется градиентом ска­ляра Wp.

Для него наряду с обозначением gradWp применяется также обозначение . («на-бла») означает символический вектор, называе­мый оператором Гамильтона или набла-оператором:

+ + . (3.10)

Конкретный вид функции Wp зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, под­нятого на высоту h над поверхностью Зем­ли, равна

Wp = mgh, (3.11)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого Wp = 0. Выражение (3.11) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (ки­нетическая энергия всегда положитель­на!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), Wp = - mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). По третьему закону Ньютона, дефор­мирующая сила Fx равна по модулю силе упругости Fx упр и противоположно ей направле­на, т. е.

Fx = - Fx упр = kx.

Элементарная работа δA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна

δA = Fx dx = kxdx,

а полная работа

A = = kx2/2

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Wp = kx2/2. (3.12)

Потенциальная энергия системы, подо­бно кинетической энергии, является функ­цией состояния системы. Она зависит толь­ко от конфигурации системы и ее положе­ния по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия систе­мы - энергия механического движения и взаимодействия:

W = Wк + Wp , (3.13)

т. е. равна сумме кинетической и потен­циальной энергий.

 

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову, изложив­шему закон сохранения материи и движе­ния, а количественная формулировка за­кона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером и не­мецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем

(m1 +m2 +…+mn ) = + +… + + + +…+ .

Рассмотрим систему материальных то­чек массами m1, m2,..., mn, движущихся со скоростями , , ..., . Пусть , , ..., - равнодействующие внутренних кон­сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a , , ..., - равнодей­ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон­сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма­териальных точек, обозначим , , ..., . При u<<c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m1 = + + ,

m1 = + + ,

mn = + + .

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соверша­ют перемещения, соответственно равные , , ..., . Умножим каждое из урав­нений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что = dt, получим:

m1 ,

m2 ,

mn .

Сложив эти уравнения, получим

- = (3.14)

Первый член левой части равенства (3.14)

= = dWк ,

где dWк есть приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dWp системы (см. (3.6).

Правая часть равенства (3.11) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

d(Wк + Wp) = δА. (3.15)

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

,

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами. Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (3.15) следует, что

d(Wк + Wp) = 0 ,

откуда

Wк + Wp = W = const , (3.16)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3.16) представляет собой закон сохране­ния механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела кото­рых действуют только консервативные си­лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем - диссипативные системы, в которых меха­ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассе­яния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян­ной. Могут происходить лишь превраще­ния кинетической энергии в потенциаль­ную и обратно в эквивалентных количе­ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому этот закон не есть просто за­кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер­гии, выражающий и качественную сторо­ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со­хранения и превращения энергии - фун­даментальный закон природы, он справед­лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи­ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест­во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля­ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает­ся физическая сущность закона сохране­ния и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и ее движения.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.