Кручення стержнів некруглого поперечного перерізу

Кручення стержнів некруглого поперечного перерізу

4.4. Деформації при крученні. Умова жорсткості.

Кручення – опір стержня коли в поперечних перерізах стержня від зовнішнього навантаження виникають тільки крутячі моменти (інші внутрішні силові фактори відсутні).

Стержень, що працює на кручення, називають валом. Кручення зазнають вали двигунів, станків, локомотивів, елементи просторових стержневих конструкцій. Кручення викликається дією зовнішніх моментів, що лежать в площині, перпендикулярній повздовжній осі стержня. Такі моменти будемо називати обертовими моментами і позначати Т.

Внутрішні силові фактори (крутячі моменти) в поперечних перерізах стержня визначаються за методом перерізів (див. формули (1.2)). Установимо правила для визначення крутячих моментів в стержнях, навантажених зовнішніми обертовими моментами.

Розглянемо скручування вала двома обертовими моментами Т, прикладеними в його торцях (рисунок 4.1 а). Визначимо внутрішній крутячий момент в довільно вибраному поперечному перерізі I – I. Мислено розсічемо вал цим перерізом на дві частини і відкинемо праву частину вала (рисунок 4.1 б). Дію відкинутої частини замінимо дією внутрішнього крутячого моменту Мк. Із умови рівноваги лівої частини вала знаходимо:

В загальному випадку, коли на вал діє довільне число зовнішніх крутячих моментів, формула (4.1) для визначення внутрішнього крутячого моменту в поперечному перерізі вала приводиться до вигляду:

Для визначення напружень по відомому крутячому моменту розглянемо кручення вала круглого поперечного перерізу (виготовленого для більшої наочності, наприклад, із гуми), на бокову поверхню якого нанесена прямокутна сітка із прямих, паралельних поздовжній осі, і окружностей, що представляють собою зовнішні контури поперечних перерізів (рисунок 4.3).

При дії крутячих моментів поздовжня вісь вала залишається прямолінійною, поперечні перерізи (круги) не викривлюються і відстані між ними не змінюються, переріз повертається відносно поздовжньої осі.

Розглянемо вал жорстко закріплений одним кінцем (рисунок 4.3).

Під дією крутячого моменту Т, прикладеного на вільному кінці вала, повернуться на деякі кути по відношенню до свого початкового положення або, що теж саме, по відношенню до нерухомого перерізу (затисненню).

Деформації при крученні. Умова жорсткості.

При крученні відбувається поворот перерізів вала відносно один одного.

Кут відносного повороту двох перерізів, віддалених на відстані l (або, що теж саме, кут закручування ділянки валу довжиною l) можна визначити із виразу (3.6), виконавши інтегрування по довжині ділянки l:

В деяких випадках вал повинен задовольняти не тільки умовам міцності, а і жорсткості на кручення.

Згин. Внутрішні сили при плоскому поперечному згині

Чистий згин – деформація, при якій в поперечних перерізах стержня діє тільки згинаючий момент.

Поперечний згин – деформація, при якій в поперечних перерізах стержня діють одночасно згинаючі моменти і поперечні зусилля.

Якщо зовнішнє навантаження розташоване у площині, що проходить через одну з головних центральних осей інерції цього перерізу (зокрема – вісь симетрії), то балка деформується в цій же площині. Такий згин називають прямим або плоским.

На рисунку 5.1 зображений брус, підданий прямому згину. Згин викликається дією сил і моментів, які лежать у силовій площині П, що проходить через поздовжню вісь балки.

Далі, якщо не обумовлюється особливо, розглядатиметься прямий згин в площині y0z.В умовах згину працюють рейки залізничної колії, хребтові балки вагонів, оси колісних пар, вали зубчастих передач, елементи мостів і мостових перекриттів і т.п.

Стержень, що працює на згин, називають балкою.

При прямому згині під дією зовнішнього навантаження, що лежить у площині симетрії поперечного переріза балки, її поздовжня вісь викривляється в тій же площині, а точки осі переміщаються.

Вигнута вісь балки називається пружною лінією, а переміщення точок балки по нормалі до недеформованої осі називаються прогинами і позначаються y (рисунок 5.18).

Поперечні переріз балки не тільки переміщаються поступально, але повертаються на кут θ щодо свого первісного положення. Такий же кут θ утворить дотична, проведена до пружної лінії балки в цьому ж перерізі, з поздовжньою віссю z.

Знаки деформацій балки визначаються у такий спосіб. При позитивному згинаючому моменті (як на рисунку 5.18) прогин y позитивний, якщо він спрямований по осі y, спрямованій угору; кут повороту перерізу θ вважається позитивним, якщо він спрямований проти руху годинникової стрілки. На рисунку 5.18 прогин y і кут повороту θ позитивні.

При безпосереднім інтегруванні рівняння пружної лінії балки, розбитої за умовами навантаження на кілька ділянок, необхідно для кожної ділянки визначити дві довільні сталі. При кількості ділянок більш двох задача стає дуже трудомісткою.

Метод початкових параметрів дозволяє при будь-якім числі ділянок звести рішення до визначення двох довільних сталих: кута повороту і прогину на початку координат.

Розглянемо частину балки (рисунок 5.19), що знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх навантажень і опорних реакцій.

9.2. Вплив способу закріплення кінців стержня.

9.4.Межі застосування формули Ейлера і побудова повного графіка критичних напружень.

9.5. Перевірка стиснутих стержнів на стійкість.

Складним (неплоским) згинанням називається такий вид вантаження, при якому навантаження діють в декількох площинах, що проходять через вісь балки (рис.16.1, а).

Якщо навантаження діють в одній площині, яка не співпадає ні з однією з головних площин, то такий вид згинання називається косим (рис.16.1, б).

Розглянемо косе згинання стрижня (рис.16.2), у якого площина згинання не співпадає з головними площинами хz і yz.

Згинальний момент М (див. рис.16.2) можна розкласти на дві складові за напрямками головних осей інерції перерізу:

11.1. Сумісна дія згину та розтягу (або стиску). Згин за умов дії поздовжніх та поперечних сил

При складанні цієї формули, приймалося, що переріз симетричний відносно нейтральної осі і, крім того, матеріал балки однаково чинить опір розтягу і стиску.

Наведений метод розрахунку застосовують і при дії на балку сил, орієнтованих під кутом до осі балки. В цьому випадку таку силу можна розкласти на нормальну до осі, яка буде вигинати балку, та поздовжню – стискаючу чи розтягуючу.

Розглянемо окремий випадок складного опору, коли брус розтягується (або стискується) силами, паралельними осі бруса так, що лінія дії рівнодіючої не співпадає з віссю бруса (рис.17.1, а).

Вид навантаження, при якому рівнодіюча зовнішніх сил не співпадає

з віссю стрижня, а зміщена щодо його осі і залишається їй паралельна, називається позацентровим розтяганням або стисканням.

Точка прикладання рівнодіючої Р називається полюсом сили.

Нейтральна лінія в загальному випадку може проходити як через поперечний переріз, так і поза ним. Дійсно, якщо сила Р прикладена в центрі тяжіння (хр=ур=0), то, згідно з формулами (17.4) і (17.5), нейтральна лінія проходить в нескінченності, і напруження в цьому випадку розподілене за перерізом рівномірно.

У міру збільшення ексцентриситету е нейтральна вісь наближатиметься до центра ваги перерізу. Конструктору бажано знати наперед, який ексцентриситет при вибраному типі перерізу можна допустити, не ризикуючи викликати в перерізі стрижня напружень різних знаків. Це важливо знати при конструюванні стрижнів з матеріалів, що по різному працюють на розтягання і стискання. Викликає інтерес встановити область таких видалень сили Р від осі, при яких епюра нормальних напружень за перерізом залишається одно знаковою.

Ядром перерізу називається область навколо центра ваги перерізу, прикладення сили Р усередині якої викликає у всьому поперечному перерізі напруження одного знаку.

При повороті нейтральної лінії навколо деякої нерухомої точки контуру перерізу точка прикладання сили переміщається уздовж деякої кривої, оскільки xp, yp і x, у зв'язані лінійно (див. рис.17.3, а). Для побудови ядра перерізу якого-небудь багатокутника необхідно проводити дотичні, співпадаючі з його сторонами. Ядро перерізу повторюватиме форму поперечного перерізу (див. рис.17.3, б).

13.1. Елементарна теорія удару. Основні положення

13.2. Загальний метод обчислення напружень при ударі

13.3. Випадок поздовжнього удару. 13.4. Згинаючий удар.

З цих формул бачимо, що величина динамічних деформацій, напружень і зусиль залежать від величини статичної деформації, тобто від жорсткості і поздовжніх розмірів тіла, що ударяється. Нижче це додатково буде показано на окремих прикладах. Величина