|
Основні неперервні закони розподілу.Розглянемо деякі найбільш важливі неперервні розподіли. 1)Рівномірний (прямокутний) розподіл. Випадкова величина X рівномірно розподілена у проміжку [c; d], якщо її щільність ймовірності має вигляд (рис.2.8, а): (1)
Цей розподіл є неперервним аналогом класичного означення ймовірності (відповідає припущенню про рівноможливій вибір точки у проміжку [c;d]). А саме, нехай [с 1;d 1 ] [c;d]. Тоді Р { X [ c1; d1 ]} = (2) Графік функції розподілу приведено на рис.2.8, б. Математичне сподівання ВВ Х за теоремою 1 підрозд. 2.1.4.2 (3) а дисперсія за формулою (1)підрозд.2.1.4.4 , Отже, (4). Якщо шкала приладу має ціну поділці і відлік робиться з точністю до цілої поділці шкали, то похибка вимірювання є неперервною випадковою величиною, яка рівномірно розподілена у проміжку [– 0.5∆; 0.5∆]. Помилка, яка допускається при округленні числа з точністю до 10-m, рівномірно розподілена у проміжку [– 0.5·10-m; 0.5·10-m]. Приклад 1. Потяги метройдуть з інтервалом 4.5хв. Пасажир виходить на платформу у випадковий момент часу. Знайти; а) МХ та ВВ часу очікування поїзда; б)ймовірність того, що пасажир буде очікувати поїзд не більше 3-х хвилин; в) не більше 4-х. Розв’язання. Оскільки ВВ Х час очікування потяга має щільність розподілу , з функцією розподілу , то за формулою P { X Î[ а; b)} = FX (b) – FX (a) одержимо, що P { X Î[0; 3)} = FX (3) – FX (0)= , а P { X Î[0; 4)} = FX (4) – FX (0)= , За формулами (3), (4) МХ= 2.25. , 2) Показниковий розподіл. Випадкова величина X має показниковий розподіл з параметром l>0, якщо її щільність розподілу , (5) де = – так звана одинична функція Хевісайда. Відповідна функція розподілу має, на підставі (1) підрозд. 2.1.3, вигляд (x 0). Таким чином, P { X h }=1– P {0 X< h }=1– FX (h) =1–(1– e-λh)= e-λh.
Графіки щільності ймовірності та функції розподілу приведені на рис.2.9, а і 2.9, б. Запис X ~ Е () означає, що ВВ Х розподілена за показниковим законом з параметром . В теорії масового обслуговування (див. підпункт 3.4.1.1)припускається, що час обслуговування Т обсл підкоряється показниковому закону . Приклад 2. Нехай кількість відмов приладу на проміжку часу [0; t) розподілена за законом Пуассона з параметром lt
а ВВ T – тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу (рис.2.10). Знайти закон розподілу ВВ T. Розв’язання. Оскільки подія T ³ t означає, що на проміжку [0; t) прилад працює безвідмовно, то P { T ³ t } = p 0(t) =e –λ t . Отже, FT (t) = P { T < t } = 1– Р { T ≥ t } =1– e –λ t і, таким чином, . Звідси випливає, що тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу розподілена за показниковим законом з параметром l. Для показникового закону 3)Нормальний розподіл (розподіл Гаусса). Випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами a та s2, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд (рис.2.12, а):
Дослідимо функцію . 1. 2. як показникова функція. 3. . 4. Екстремум; У подальшому запис X ~ N (a;s2) означатиме, що ВВ X має розподіл Гаусса з параметрами a та s2. Графік розподілу Гаусса є симетричним відносно прямої x = a. Єдиний максимум досягається при x = a і дорівнює . Оскільки площа під графіком дорівнює 1, то при зменшенні s графік стає більш «високим» та «вузьким». Первісна від нормальної щільності не виражається явно через елементарні функції. Функція розподілу випадкової величини X ~ N (a;s2) виражається через функцію Лапласа Ф(x) (формула (5) розділу 1.5). Дійсно, Графік функції розподілу приведено на рис.2.12, б.
Розподіл Гаусса відіграє фундаментальну роль в застосуваннях теорії ймовірності. Оскільки ймовірність потрапляння ВВ у проміжок дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку, то
Якщо проміжок [ c; d ] довжиною 2 s s розташований симетрично відносно точки x=a, то формула (14) набирає особливо простого вигляду
. () Зокрема: 1) ймовірність попадання у проміжок [ a- 3s; a +3s] дорівнює 2Ф(3) = 0.9973. Таким чином, можна стверджувати, що подія { X Ï[ a- 3s; a +3s]} є практично неможливою (при одному випробуванні отримати значення, яке відхиляється від а більше, ніж на 3s неможливо). У цьому полягає знамените правило «трьох сигм»; 2) Отже, події σ}, {| X–a |<0.6745σ} є рівноймовірними. Величина Е= 0.6745σ називається серединним або імовірним відхиленням. Приклад 6. Відхилення розміру деталі від стандартного розподілено за законом N (0;16 мм2). Деталь вважається придатною, якщо відхилення від стандарту не перевищує 6 мм. 1) Який відсоток випуску непридатних деталей? 2)Яким має бути σ, щоб при відхиленні від стандарту 3 мм ймовірність придатності деталі була не менш, ніж 0.95? Розв’язання. Нехай ВВ X – відхилення розміру деталі від номінального. 1) Знайдемо ймовірність того, що деталь буде забраковано
Таким чином, брак складає майже 13.5%. 2) За таблицею функції Лапласа маємо мм. Випадкові вектори ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|