Краткий курс математического анализа

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

Москва 2005.

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1.

Двойной интеграл.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.

Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.

Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.

Вспомним формулу для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений , где - «крайние» точки области D по x., - площадь сечения тела одной из параллельных плоскостей (при фиксированном x). Эта плоскость пересекается с плоскостью OXY по прямой, параллельной оси OY, соединяющей точку входа в область j(x) с точкой выхода f(x). Графики функций j(x), f(x) образуют границу области D. = - площадь криволинейной трапеции..

Подставляя в формулу для объема, получим . Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии . По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)

= =

Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

1.

1.

= =

2.

+ = +

3.	= (внутренний интеграл не берется)= =

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу . мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y² и x = y² и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..

Приложения двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm_x = y dm = y r(x, y) ds,

dm_y = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ_x = y² dm = y² r(x, y) ds,

dJ_y = x² dm = x² r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Лекция 3 Тройной интеграл.

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

Задача о работе силы.

Какую работу производит сила F(M) при перемещении точки M по дуге AB? Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где - угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр).

1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А)

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .

4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):

. Часто обозначают

Теорема существования.

Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L[12]. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Лекция 6. Формула Грина.

Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.

Тогда справедлива формула Грина

.

Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей .

Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании.

Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.

2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и , каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.

= = = =

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение

- полный дифференциал, а функция - потенциал.

Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

, где - потенциал.

Доказательство. В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно записать в виде . Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x₁, y₁), (x₂, y₂) можно провести через точку (x₀, y₀). Поэтому = + = - = .

Лекция 8

Скалярное и векторное поля.

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле j (M), если в этой области задана скалярная функция j (M).

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле (M), если в этой области задана векторная функция (M).

Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля.

В интегралах первого рода:двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве.

В интегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле.

Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.

Скалярные поля.

Линии уровня плоского поля j (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны j (x, y) = С.

Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокие океанские впадины).

Поверхности уровня пространственного поля j (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны j (x, y, z) = С.

Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня – это линия уровня.

Пример. Задано поле . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Линии или поверхности различных уровней не пересекаются.

Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля.

Градиент поля – вектор .

Утверждение. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня.

Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать.

.

Вектор (x, y, z) - это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащей на поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) вектор градиента ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку. Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен по нормали к поверхности уровня.

Производная скалярного поля по направлению определяется как . Известно из теории функций многих переменных (выпуск V учебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление

.

Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x² + y² + z³ по направлению {1,3,2} в точке (1,0,4)

.

Векторное поле.

Векторная линия -линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля и касательной

.

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

- линии уровня – окружности (С>0).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

Свойства дивергенции.

1) Линейность.

.

2) , где - постоянное векторное поле.

3) , где - скалярное поле.

= = .

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля вектор

Свойства ротора.

1) Линейность

= +

= .

2) - постоянное векторное поле.

3)

=

+ = .

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей .

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса состоит из трех независимых частей (в силу произвольности компонент векторного поля). Докажем одну из этих частей, остальные формулы доказываются аналогично. Докажем - часть формулы Стокса, в которой содержится только компонента P. Предположим, что поверхность описывается уравнением . Тогда нормаль к поверхности

представляет собой вектор

Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .

(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности )

=

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P . Продолжаем равенство дальше.

= .

В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интегралом векторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

.

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление совпадает с направлением ротора и - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Векторное поле линейной скорости .

,

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона .

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Гармоническое поле.

Скалярное поле называется гармоническим, если

- уравнение Лапласа.

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

Свойства сходящихся рядов.

1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о предельном переходе в равенстве .

2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

Сгруппируем члены ряда, например, так

. Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов . Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.

Запишем частичные суммы второго ряда . По теореме о предельном переходе в равенстве .

Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозначается

4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).

Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».

5. Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.

Рассмотрим два сходящихся ряда и . Рассмотрим ряд , где . . Переходя к пределу в равенстве, получим .

Примеры.

1. Ряд –5+7-8+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первых четыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

2. Ряд расходится. Он представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно сходящийся ряд , мы должны были бы по свойству 5 получить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.

3. Ряд сходится. Рассмотрим сходящийся ряд . Группируем его члены

, получаем исходный ряд. Следовательно, он сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.

Интегральный признак Коши.

Пусть при определена непрерывная, не возрастающая функция f(x), такая, что . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. - это площадь под графиком функции при .

Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, а ограничивает ее сверху, то .

. Достаточность. Если интеграл сходится, то , поэтому последовательность ограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса . Поэтому ряд сходится.

Необходимость. Если ряд сходится, то , а по необходимому признаку сходимости ряда при . Поэтому последовательность (неубывающая, так как ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса , т.е. несобственный интеграл сходится.

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.

- интеграл расходится, поэтому и гармонический ряд расходится.

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле» . Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

.

Интересно, что ряд , интегралы расходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример. Ряд с р

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: