Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема збіжності методу простої ітерації





Якщо норма матриці коефіцієнтів при невідомих канонічної форми системи (11) строго менше одиниці , то послідовність наближень за методом простої ітерації збігається до точного розв’язку системи . При цьому похибки наближень оцінюються за формулами

, (12)

де , а

 

Відомо, що якщо визначник системи (3) відмінний від нуля ( ), то її завжди можна (але не завжди просто) привести до канонічної форми (11), що задовольняє умовам теореми збіжності методу простої ітерації . Це легко зробити, якщо модулі діагональних коефіцієнтів системи (3) перевищують суму модулів інших коефіцієнтів відповідних рівнянь:

(13)

Умова (13) являється достатньою умовою збіжності процесу ітерацій системи, записаної у вигляді (3). Якщо ж умова (13) не виконується (або виконується не для всіх рівнянь), то систему (3) можна привести до еквівалентної , але уже з виконаною умовою (13) для всіх діагональних коефіцієнтів. Цього добиваються шляхом підбору лінійних комбінацій рівнянь системи (3) і відповідною перестановкою рівнянь.

 

Приклад виконання лабораторної роботи.

Завдання: розв’язати систему рівнянь:

(14)

за правилом Крамера, методом Жордана – Гаусса та методом простої ітерації. Порівняти значення, отримані за формулами Крамера, з результатами функції lsolve(А,В). Обчислити нев’язки в методі Жордана – Гаусса. Отримати розв’язок за методом простої ітерації з точністю .

Виконання:

1. Розв’яжемо систему рівнянь в середовищі програми MathCad, користуючись формулами Крамера. Знайдемо розв’язок цієї ж системи за допомогою вбудованої функції lsolve(А,В). Порівняємо отримані результати.

Зауваження: а) Функція lsolve(А,В) знаходить розв’язок СЛАР (3), записаної у матричному вигляді. Для її використання потрібно попередньо задати матрицю системи А та стовпець вільних членів В.

б) В середовищі Mathcad для заміни, наприклад, першого стовпчика матриці А елементами стовпця вільних членів В використаємо оператор .

Реалізація алгоритму в середовищі MathCad:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розв’яжемо систему рівнянь методом Жордана - Гаусса в середовищі ЕТ Excel. Для цього створимо наступну таблицю:

 

 

На нульовому кроці (n=0) заповнимо таблицю даними із системи рівнянь, тобто коефіцієнтами при невідомих аij і значеннями вільних членів bi рівнянь системи.

На наступних кроках виконаємо обчислення за алгоритмом методу Жордана – Гаусса (описаному в теоретичній частині). На першому кроці за розв’язуючий елемент візьмемо найбільший по модулю коефіцієнт a12=6.

 

 

В режимі формул розрахунки мають такий вигляд:

 

 

Із розрахункової таблиці третього (останнього) кроку випишемо розв’язки нашої системи

 



Перевіримо точність за допомогою нев’язок, які розраховуватимемо по формулам

 

Результат має вигляд

 

 

Отже, ми отримали розв’язки з нульовою похибкою і вони співпадають з результатами, що були обчислені за формулами Крамера.

3. Знайти розв’язок системи методом простої ітерації з точністю .

а) В системі (14) переставимо перше і друге рівняння місцями. Отримаємо систему, що задовольняє умову (13)

б) Приведемо систему рівнянь до канонічної форми

 

в) Створимо в середовищі MathCad матрицю системи С та вектор вільних членів D по матричному рівнянню (канонічної форми системи) X=CX+D

 

 

г) Обчислимо норму матриці системи за допомогою вбудованої функції norme()

 

Норма матриці С менше одиниці ( ). Отже, виконується умова збіжності ітераційного процесу.

д) Задамо початкове наближення

 

е) Проведемо розрахунки по ітераційним формулам

 

 

 

є) Обчислимо похибку. Наприклад, оцінимо на 9-тій ітерації.

 

 

 

Похибка менше заданої точності.


Лабораторна робота №3

на тему: „Інтерполяція функцій”.

Мета роботи: набути навичок побудови інтерполяційного полінома Лагранжа та використання його для обчислення наближених значень функції в заданих точках в середовищі MathCad.

Теоретичні відомості.

В загальному вигляді задача інтерполяції може бути поставлена так: дано ряд значень (дослідних даних), які розташовані в порядку збільшення аргументу (табл.1), що відображає залежність y від x. Необхідно знайти аналітичну залежність, що наближено відображує зв’язок між x та функцією y і визначити проміжні значення функції , де

Табл. 1

x x0 x1 x2 xn
y y0 y1 y2 yn

 

Під інтерполяцією розуміється заміна заданої дискретної функції y=f(x) деякою функцією для якої виконуються наступні умови:

(15)

Функція називається інтерполяційною функцією, відрізок - відрізком інтерполяції, а точки , - вузлами інтерполяції.

Основна умова інтерполяції – рівність вихідної дискретно заданої функції y=f(x) і інтерполяційної функції в вузлах інтерполяції.

На практиці за інтерполяційну функцію часто використовують поліном Лагранжа:

(16)

Цей поліном має степінь не вище n, тобто степінь полінома на одиницю менша за кількість вузлів інтерполяції, і в заданих вузлах , де

За допомогою цього полінома можна обчислити значення функції в точках, які відрізняються від вузлів інтерполяції.

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.