ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Драчева И.А., Ершова Т.Г.

МАТЕМАТИКА

Методические указания

для самостоятельной работы и выполнения контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

направления 39.03.02 «Социальная работа»

Керчь, 2015

УДК 51

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к утверждению на заседании кафедры математики, физики и информатики ФГБОУ ВО «КГМТУ»,

протокол № от 2015 г.

Заведующий кафедрой ___________________ Т. Н. Попова

Методические указания утверждены и рекомендованы к изданию на заседании методической комиссии технологического факультета ФГБОУ ВО «КГМТУ»,

протокол № от 2015 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

«Математика» является одной из базовых дисциплин математического и естественнонаучного цикла подготовки бакалавров по направлению 39.03.02 «Социальная работа». Знания, приобретенные в результате изучения математики, необходимы для успешного изучения информатики, методики и техники социологических исследований, методах исследования в социальной работе, социальной квалиметрии, социальной информатики.

В результате изучения математики формируются общекультурные и профессиональные компетенции: владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения; умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь; стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства; использование в профессиональной деятельности методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; способность к участию в работе научных коллективов, проводящих исследования по различным направлениям обеспечения социального благополучия.

Настоящие методические указания содержат вопросы для подготовки к зачету по математике, контрольные задания и методические указания к решению задач. Методические указания включают следующие разделы математики: линейная алгебра, функция, предел функции, производная функции, интегральное исчисление, теория вероятностей и математическая статистика.

Студент заочной формы обучения при выполнении контрольных работ должен знать следующие рекомендации:

- контрольную работу необходимо выполнить в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, дата регистрации работы в университете;

- при решении задач необходимо указать номер задачи ее содержание;

- решение задачи должно сопровождаться достаточно подробными пояснениями;

- все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики выполнены аккуратно;

- для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует на каждой странице оставлять поля.

После получения отрецензированной работы студент должен исправить в ней все ошибки. Если работа не допущена к защите, то в кратчайший срок студенту необходимо после устранения замечаний преподавателя представить работу на повторное рецензирование. Ошибки следует исправлять в той же тетради. Перед экзаменом или зачетом студент должен защитить контрольную работу. При защите студент должен быть готов дать пояснения к решенным задачам или решить подобные задачи. На экзамен (или зачет) необходимо представить преподавателю все запланированные контрольные работы.

Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Таблица 1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Задания 1-10.

Дана система линейных уравнений. Решить систему по формулам Крамера.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задания 11-20.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

11.	а) б)
12.	а) б)
13.	а) б)
14.	а) б)
15.	а) б)
16.	а) б)
17.	а) б)
18.	а) б)
19.	а) б)
20.	а) б)

Задания 21-30. Найти экстремумы функции, интервалы возрастания, убывания.

21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Задания 31 -40.

Сделать чертеж и вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

31.		36.
32.		37.
33.		38.
34.		39.
35.		40.

Задания 41-50.

41.	В партии из шести деталей вероятность того, что деталь стандартная 0,7. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
42.	Вероятность отказа прибора за время истечения на надежность равна 0,2. Построить закон распределения случайной величины Х - числа отказавших приборов, если испытанию будут подвергнуты четыре прибора. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
43.	Игральная кость брошена три раза. Написать ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений шестерки. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
44.	Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего– 0,8. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
45.	Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
46.	Вероятность того, что студент найдет в справочнике нужную ему формулу, равна 0,4. Студент просмотрел четыре справочника. Построить ряд распределения числа справочников, в которых студент найдет нужную формулу. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
47.	Приобретено четыре лотерейных билета. Составить ряд распределения числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если вероятность выигрыша по одному билету 0,3. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
48.	Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
49.	Баскетболист делает два штрафных броска. Вероятность попадания в корзину при одном броске 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий мяча в корзину. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).
50.	В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить ряд распределения числа бракованных изделий из шести взятых наугад. Найти числовые характеристики М (Х), D (Х), (Х).

Задания 51 - 60.

При изучении случайной величины Х в результате n независимых наблюдений получили выборку. Необходимо:

1. Построить дискретное статистическое распределение для этой выборки, а также полигон относительных частот.

2. Найти: выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение ; моду .

Задание 61 – 70

Результаты измерений величин X и Y представлены таблицей.

1. Построить в прямоугольной системе координат заданные точки . Убедиться, что величины X и Y связаны линейной зависимостью.

2. Составить уравнение регрессии на . Построить полученную прямую.

3. Найти коэффициент корреляции , оценить тесноту связи, найти ошибку коэффициента корреляции.

3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 3.1 Задания типа 1-10 Дана система линейных уравнений Решить по формулам Крамера. Решение. Дадим некоторые определения и понятия необходимые для решения задачи. Прямоугольная таблица из чисел или иных математических объектов, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей. Обозначается заглавными буквами: А, В, С, D,… Общий вид матрицы . Размерность матрицы m×n. Если число строк n матрицы равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной и n ее порядок. Пример квадратной матрицы второго порядка .   Пример квадратной матрицы третьего порядка . Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности между произведением чисел, образующих главную диагональ, и произведением чисел, стоящих на побочной диагонали, можно встретить следующие обозначения определителя: ; ; ; detA (детерминант). . Пример: . Определителем матрицы третьего порядка называется число или математическое выражение, вычисляемое по следующему правилу Наиболее простым способом вычисления определителя третьего порядка является дописывание снизу определителя двух первых строк. В образованной таблице чисел перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали и на диагоналях параллельных главной, знак результата произведения не изменяется. Следующим этапом вычислений является аналогичное перемножение элементов, стоящих на побочной диагонали и на параллельных ей. Знаки у результатов произведений меняются на противоположные. Затем складываем полученные шесть слагаемых. Пример: Минором элемента определителя n –го порядка называется определитель (n -1) –го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием i –ой строки и j –го столбца. Минор элемента определителя обозначается . Алгебраическим дополнением элемента определителя n –го порядка называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается . Следовательно, . Правило вычисления определителя любого порядка: определитель любого порядка n равен сумме произведений элементов какой–либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Найдем определитель третьего порядка путем разложения по элементам первой строки: . Аналогично можно вычислить определитель третьего порядка, разложив по любой строке или столбцу. Удобно раскладывать определитель по той строке (или столбцу), в которой содержится больше нулей. Пример: . Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными (m=n): Матрица , составленная из коэффициентов, стоящих перед неизвестными, называется матрицей системы или главной матрицей. - матрица-столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов. Теорема Крамера. Если определитель матрицы системы n -го порядка отличен от нуля , то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам . - вспомогательный определитель, полученный из главного путем замены столбца коэффициентов при хi на столбец свободных членов. В частности, для матрицы 3-го порядка . Вернемся к нашей системе, решим ее по формулам Крамера.

1) Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители.

Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных:

Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители, чтобы их получить, заменим соответственно первый, второй или третий столбец определителя системы столбцом свободных членов. Определители вычисляем разложением по первой строке:

.

По правилу Крамера: , , .

Ответ: x=2, y=-1, z=3.

Чтобы проверить правильность решения, нужно подставить эти числа в каждое уравнение данной системы и получить верные тождества.

Задания типа 11-20

Если каждому значению переменной х из множества Х по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное вполне определенное значение y, то переменную y называют функцией от х.

Записывают или . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается . Множество всех называется множеством значений функции и обозначается .

х – независимая переменная величина или аргумент, y – функция или зависимая переменная.

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .

Аналогично:

, если при , N – произвольное положительное число.

, если при , где М – произвольное сколько угодно большое положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой величиной при .

Если , то функция называется бесконечно малой величиной при .

Простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют конечные и , то

1)

2)

3) (с – константа)

4) , ().

Используются также следующие пределы:

; - первый замечательный предел;

; - второй замечательный предел. Число е≈2,71828.

С числом е связана система логарифмов, более удобная, чем десятичная.

- называется натуральный логарифм.

Число е называют ещё неперовым числом (по имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц Непера (1550-1617)). Показательная функция играет большую роль при изучении различных явлений в механике (теория колебаний), в электротехнике, радиотехнике. Функцию часто называют экспонентой и обозначают .

Разберем подобные примеры из контрольной работы. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) б)

Обычно для отыскания предела используют теоремы о пределах. Из этих теорем следует: если предельная точка входит в область определения функции, стоящей под знаком предела, то для его отыскания нужно найти значение функции в этой точке.

.

Но часто теоремы о пределах применить нельзя. Это бывает в случаях, так называемых, неопределенных выражений: .

Рассмотрим основные способы раскрытия неопределенностей на указанных выше примерах.

а)

Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель неограниченно возрастают при . Имеем неопределенность вида . В подобных примерах числитель и знаменатель дроби целесообразно разделить на высшую степень переменной. В нашем примере разделим числитель и знаменатель на , затем перейдем к пределу.

б)

Решение. Подставляя х=2 в числитель и знаменатель дроби получим неопределенность вида . В подобных примерах, когда числитель и знаменатель многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и прейти к пределу. Для разложения на множители квадратного трехчлена используем формулу , где х₁,х₂ – корни соответствующего квадратного уравнения

.

Задания типа 21-30

Производная функции.

Пусть имеем функцию , определенную на некотором промежутке. Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое x. Разность называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается .

Разность называется приращением функции в точке x₀ и обозначается символом Δy.

Производной функции называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x).

Производная обозначается символами . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Правила дифференцирования:

1.

2. ; с-const

3. ; с-const

4. , если , т.е.

5. , если и - взаимно обратные функции.

Формулы дифференцирования.

Примеры:

Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

1)

Воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции :

.

2) .

Воспользуемся формулой производной произведения

Экстремумы функции.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема (Ферма – необходимое условие экстремума). Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если с (-) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть в точке производная равна нулю , а вторая производная . Тогда, если , то - точка минимума; если , то - точка максимума.

Пример.

Найти экстремумы функции, интервалы возрастания и убывания

.

Решение.

Найдем производную и решим уравнение .

Производная обращается в ноль при или .

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: