КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Электронные цепи можно представить схемами с многополюсными компонентами. Например, схема транзисторной усилительной цепи (рис. 1.27,а) в квазилинейном режиме показана на рис. 1.27,б. Если многополюсные компоненты заменить их моделями, то получим схему с двухполюсными компонентами. Так, воспользовавшись упрощенной высокочастотной моделью транзистора (рис. 1.22,а) при r _вк = ∞ и r_кэ = ∞, получаем схему электронной цепи, приведенную на рис. 1.27,в.

При составлении уравнений удобно пользоваться графом схемы [112], представляющим собой совокупность (множество) ветвей и вершин. Обычно ветвь начинается в одной вершине и оканчивается в другой. Если начало и конец ветви определяются одной и той же вершиной, то эта ветвь образует петлю. Ветви соединяют между собой, объединяя вершины.

Двухполюсным компонентам соответствуют ветви графа, оканчивающиеся двумя вершинами (рис. 1.28,я). Каждой ветви приписывают некоторое направление, которое совпадает с положительным направлением тока и противоположно положительному направлению напряжения. Многополюсный компонент отображают его полюсным графом [42, 53], вид которого зависит от выбранной для описания компонента системы токов и напряжений на его полюсах. Так, для (m+1)-полюсника (см. рис. 1.28,б) полюсный граф состоит из т ветвей, направленных от т его полюсов к некоторому полюсу

m+1, принятому за начало отсчета напряжений (рис. 1.28,б). По существу каждая ветвь графа схемы отображает соответствующее уравнение ее компонента. В граф схемы включают также ветви искомых токов и напряжений.

На рис. 1.29,а показан граф транзисторной схемы (рис. 1.27,б) для случая, когда параметры транзисторов определены в схеме с общим эмиттером, а на рис. 1.29,б — для случая, когда параметры транзистора Т₁. определены в схеме с общей базой, а транзистора Т₂ — в схеме с общим коллектором. Ветвь 7 соответству-

ет входному источнику напряжения U_вх, ветви 1 и 2 — емкостям C₁ и С₂, ветви 8-11 — сопротивлениям R₁ — R₄, ветвь 3 — выходному напряжению U _вых, а ветви 4 и 5 — полюсному графу транзистора Т₁, ветви 6 и 12 — полюсному графу транзистора Т₂. Направления ветвей 3 и 7

противоположны направлениям напряжений в схеме (рис. 1. 27,в), ветви 4, 5, 6 и 12 полюсных графов транзисторов направлены к общему узлу, относительно которого определены их параметры, а направления остальных ветвей выбраны произвольно.

Граф схемы с двухполюсными компонентами совпадает то структуре с самой схемой, например, граф схемы замещения (рис. 1.27,в) показан на рис. 1.30. При этом графы многополюсных компонентов определяются их схемными моделями с зависимым источниками (ветви 9 — 13 для транзистора Т₁ и ветви 14 — 18 для транзистора Т₂). Направления ветвей зависимых источников и управляющих ветвей выбирают в соответствии с направлениями, принятыми в схемных моделях.

Схемы с кондуктивными связями изображают связными графами, а граф схемы с индуктивными связями может оказаться несвязным, состоящим от двух или не-

скольких отдельных частей. В общем случае частями графа могут быть как отдельные ветви, так и изолированные вершины. Любой граф, образованный из ветвей и вершин некоторого графа, является его подграфом.

В зависимости от характера компонентов ветви графа электронных схем можно разделить на следующие типы:

1) ветви пассивных двухполюсников (сопротивлений, емкостей, индуктивностей);

2) ветви полюсных графов многополюсных компонентов;

3) ветви независимых источников (напряжения и тока);

4) ветви зависимых источников (напряжения и тока);

5) управляющие ветви (по напряжению и току) зависимых источников;

Каждой из ветвей соответствует уравнение двухполюсного или многополюсного компонента (компонентное уравнение). В зависимости от вида компонентных уравнений ветви разбивают на два подмножества [61]: у-ветви (уравнения выражают токи) и z-ветви (уравнения выражают напряжения). Ветви, которые допускают выражения как для токов, так и напряжений, называют взаимно определенными. Отнесение ветви к одному из двух подмножеств зависит от ее характера, связи с другими ветвями и процедуры формирования уравнений схемы.

В общем случае токи у-ветвей I _у и напряжения 2-ветвей U_z могут зависеть от токов и напряжений любых ветвей, а также от задающих токов J _в и напряжений Е_в. Поэтому компонентные уравнения ветвей графа схемы запишем в виде

Эти уравнения можно объединить в одно компонентное уравнение

где векторы X' и X" выражаются через векторы токов и напряжений у- и z-ветвей:

а компонентные матрицы V, V и задающий вектор F имеют вид

Элементами компонентных матриц являются параметры компонентов схемы. При этом в Y_в входят проводимости двухполюсников и управляющие проводимости зависимых источников тока, управляемых по напряжению у-ветвями, а в Z_в— сопротивления двухполюсников и управляющие сопротивления зависимых источников напряжения, управляемых по току z-ветвями. Элементами остальных субматриц являются соответствующие управляющие параметры зависимых источников, смысл которых ясен из уравнений (1.83). Компонентное уравнение можно упростить, если предположить, что y-ветви могут быть только управляющими по напряжению, а z-ветви — только управляющими по току. Тогда V'=0 и (1.84) приводится к виду

Это уравнение можно распространить и на общий случай, вводя дополнительные управляющие ветви. Последовательно с управляющими по току y-ветвями вводят короткозамкнутые управляющие по току 2-ветви, а параллельно с управляющими по напряжению z-ветвями — разомкнутые управляющие по напряжению y-ветви. Условным изображением управляющих ветвей (рис. 1.31) соответствуют компонентные уравнения

Специальные управляющие ветви вводят в тех случаях, если управляющий ток или напряжение не совпадают с током или напряжением какой-либо ветви графа или если целесообразно исключить из числа управляющих какой-либо класс ветвей (например, ветви реактивных двухполюсников или независимых источников).

Если искомые токи и напряжения не совпадают с токами и напряжениями каких-либо ветвей схемы, вводят специальные ветви искомых величин — короткозамкнутые для токов и разомкнутые для напряжений. Их уравнения совпадают с (1.88).

Следует отметить, что выражения (1.83) часто применяют и для описания нелинейных компонентных уравнений

их линеаризацией, при этом элементы компонентных матриц V, V определяются частными производными выражений (1.89) и являются переменными величинами.

Более того, выражения (1.83) можно представить в алгебраической форме, если для описания вольт-амперных характеристик реактивных компонентов воспользоваться заменой через эквивалентные проводимости и источники токов, вытекающей из формул численного интегрирования дифференциальных уравнений. Например, для уравнения

Здесь индексы п — i характеризуют последовательные временные шаги представления компонентного уравнения. Подробнее об алгебраизации компонентных уравнений будет сказано в § 4.6.

Таблицы соответствия и структурная матрица

Наиболее просто структура графа может быть описана с помощью таблиц соответствия. Для ветвей таблица соответствия представляет собой упорядоченные пары инцидентных им вершин графа (начальная и конечная вершины).

Таблица соответствия для вершин графа содержит номера инцидентных им ветвей, соединенных в соответствующих вершинах (со знаком плюс, если ветвь направлена от узла, и со знаком минус, если она направлена к узлу). Например, для графа, изображенного на рис. 1.29,а, таблица имеет следующий вид:

Число ветвей, инцидентных данной вершине, называют степенью вершины (степени вершин а и f равны двум, вершин b, с, d — трем, е — четырем и g — семи). Число параллельных ветвей между двумя вершинами называют взаимной степенью этих вершин.

Таблицы соответствия можно развернуть в структурную матрицу А (матрицу инциденции), число строк которой равно числу вершин v, а число столбцов — числу ветвей l. Элемент а _ij данной матрицы равен +1 (—1), если j-я ветвь графа инцидентна i-й вершине и направлена от нее (к ней), или 0, если j-я ветвь не инцидентна i- йвершине. Переход от таблицы соответствия к структурной матрице прост и может быть легко запрограммирован для вычислительных машин. Структурная матрица, как и таблица соответствия, полностью отображает топологию графа.

Так как каждая ветвь графа инцидентна двум вершинам, то и каждый столбец структурной матрицы содержит только два ненулевых элемента (+ 1 и —1), знаки которых определяются направлением ветви относительно этих вершин. Следовательно, сумма элементов d каждом столбце тождественно равна нулю, а значит и сумма всех строк структурной матрицы равна нулю, т. е. строки структурной матрицы линейно зависимы (одна из них равна сумме остальных с обратным знаком). Например, для графа рис. 1.29,а

Поскольку ранг матрицы определяется числом ее линейно независимых строк, то ранг структурной матрицы не может превышать величины v— 1. Вычеркнув одну из строк матрицы А, получим сокращенную структурную матрицу А₀. Например, вычеркивая последнюю строку, соответствующую узлу g, получаем

Таким образом, для определения структуры графа достаточно располагать сведениями об инцидентности его ветвей и вершин.

Строки матрицы А₀ содержат информацию о ветвях, инцидентных соответствующим вершинам. Образуем вектор токов ветвей

В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, инцидентных данной вершине равна нулю. Следовательно, произведение вектора-строки матрицы А₀ на вектор токов ветвей I_втакже равен нулю. Отсюда получаем

— обобщенное выражение первого закона Кирхгофа для υ — 1 вершин графа схемы. Дальнейшее обобщение

основывается на справедливости первого закона Кирхгофа для произвольной замкнутой области, которая включает некоторое число вершин. Каждая такая область может быть выделена сечением — замкнутой линией, не проходящей через вершины и пересекающей некоторую совокупность ветвей, которые являются инцидентными данному сечению.

Полноту и независимость уравнений по первому закону Кирхгофа обеспечивает надлежащий выбор совокупности независимых сечений. Они могут быть образованы с помощью фундаментального дерева, т. е. связного подграфа, не содержащего контуров и включающего в себя все v вершин данного графа схемы. Очевидно, такое дерево состоит из ν=υ —1 ветвей. Варианты фундаментальных деревьев для графа рис. 1.29,а (υ = 7) приведены на рис. 1.32 (ветви деревьев показаны жирными линиями). Они иллюстрируют два различных подхода к образованию фундаментального дерева.

При первом подходе фундаментальное дерево строят на множестве v вершин графа схемы без учета структуры последнего. В этом случае дерево представляет собой самостоятельный граф, совмещаемый с графом схемы в его вершинах (рис. 1.32,а). Можно показать [77, 108, 181], что общее число различных деревьев (без учета направлений их ветвей) на множестве v вершин выражается формулой

Величина ξ — это большое число даже для сравнительно малых значений v. Так, для графа с четырьмя узлами имеется 16 вариантов фундаментальных деревьев, а с семью узлами — уже 16807. Число всевозможных фундаментальных деревьев еще больше возрастает, если учитывать и различия в направлении ветвей. Поскольку для каждой υ —1 ветви дерева имеется два различных направления, то

При υ = 4 таких деревьев 128, а при υ = 7 их число уже превышает миллион. Таким образом, имеется огромное число различных вариантов выбора фундаментального дерева.

При втором подходе к выбору фундаментального дерева в качестве его ветвей выбирают ветви данного графа, т. е. фундаментальное дерево является деревом графа (рис. 1.32,б). Ветви графа, не вошедшие в дерево, называются хордами, совокупность которых образует дополнение дерева.

Число всевозможных деревьев графа определяется значением определителя квадратной матрицы Т ν-ro порядка, диагональными элементами которой являются степени v вершин t_ii графа, а недиагональными элементами — взаимные степени t_ij тех же v вершин со знаком минус [244]:

Если различать деревья и по направлениям их ветвей, то число различных деревьев графа

Как видим в рассматриваемом примере графа с семью вершинами число деревьев графа оказалось меньше числа фундаментальных деревьев примерно в 50 раз. Однако такое соотношение получается не всегда. Число деревьев графа зависит от степени его заполнения, т. е. от отношения числа ветвей к числу вершин. Если граф представляет полный многоугольник, в котором каждая пара вершин связана одной ветвью, то ξ = ξ ₀, т. е. число фундаментальных деревьев равно числу деревьев графа. При наличии параллельных ветвей число деревьев графа может быть даже больше, чем число деревьев, построенных на множестве всех его вершин.

Установим способ образования независимых сечений. Каждое такое сечение должно пересекать только одну ветвь фундаментального дерева (это всегда возможно, так как ветви дерева не образуют контуров). При этом сечение пересекает также некоторую совокупность ветвей графа (рис. 1.32,а). Таким образом, каждой ветви фундаментального дерева соответствует только одно сечение, номер и направление которого отождествляются с номером и направлением соответствующей ветви дерева. Так как каждое из сечений охватывает различные совокупности вершин графа, то все эти сечения являются независимыми. Их число равно числу ветвей фундаментального дерева, т. е.

В несвязном графе, состоящем из п частей, сечения выбирают отдельно для каждой части, поэтому их число

Совокупность фундаментальных деревьев частей несвязного графа образует его фундаментальный лес.

Матрицу сечений П получают по правилу, аналогичному для структурной матрицы. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы — ветвям графа, так что размер матрицы (v x l). Элемент π_ij матрицы П равен +1 (—1), если j-я ветвь инцидентна i-му сечению и направлена с ним согласно (противоположно), и 0, если /-я ветвь не инцидентна i-му сечению. Так, для сечений, определяемых фундаментальным деревом, по рис. 1.32,а получаем

Если какая-либо ветвь графа пересекается сечением четное число раз, то она не является инцидентной этому сечению (например, ветвь графа 8 пересекается сечением 3 дважды, поэтому π₃₈=0). Инцидентная данному сечению ветвь может пересекаться им нечетное число раз.

Для случая, когда фундаментальным деревом является дерево графа, процедура записи матрицы сечений не отличается от рассмотренной, но при этом, естественно, учитывают и ветви дерева (каждая ветвь графа, являющаяся ветвью фундаментального дерева, инцидентна только соответствующему ей сечению).

Сечения, определяемые фундаментальным деревом, которое является в то же время некоторым деревом графа, называют главными сечениями, а соответствующую им матрицу — матрицей главных сечений. Например, матрица главных сечений для графа рис. 1.32,б имеет вид

Расположив сначала столбцы, соответствующие всем ветвям дерева, а затем остальные, можно привести матрицу главных сечений к виду

где 1 — единичная матрица ν-ro порядка, а π — матрица главных сечений для хорд. Для графа рис. 1.32,б

Матрица я полностью определяет матрицу главных сечений П, причем ее размер [νX(l—ν)].

Дерево графа и матрицу главных сечений можно получить на основе структурной матрицы А₀ по формальному алгоритму, который поясним на примере графа рис. 1.29,а. Выбираем в первом столбце матрицы А₀первый ненулевой элемент и соответствующую этому элементу строку прибавим или вычтем из строк, соответствующих ненулевым элементам этого же столбца так, чтобы образовался столбец с единственным ненулевым элементом. Если этот элемент равен —1, меняем знаки в соответствующей ему строке на обратные и переставляем эту строку на первое место. После выполненияэтих операций над записанной ранее матрицей А₀получаем

Наличие единственного ненулевого элемента (+ 1) в первом столбце указывает на то, что первая ветвь включена в дерево графа. Далее, выбираем ненулевой элемент во втором столбце ниже первой строки и выполняем аналогичные операции. После того, как во втором столбце все элементы, кроме выбранного, обращены в нулевые, переставляем строку, соответствующую ненулевому элементу во втором столбце, на второе место (в дерево графа включается вторая ветвь):

Продолжая аналогичные операции над третьим, четвертым и пятым столбцами, получаем

Дальнейший процесс должен был бы относиться к шестому столбцу. Но в этом столбце ниже сформированных ранее пяти строк отсутствуют ненулевые элементы, что указывает на недопустимость включений ветви 6 в дерево совместно с ветвями 1—5 (действительно, как видно из рис. 1.29,а, ветвь 6 образует контур с ветвями 2 и 3). При такой ситуации перестанавливаем соседние столбцы 6 и 7 и соответствующие операции выполняем над столбцом 7, после чего приходим к матрице главных сечений (процесс заканчивается, так как в левой части матрицы образовалась единичная субматрица v-ro порядка):

Таким образом, дерево образовано из ветвей 1, 2, 3, 4, 5 и 7, а ветви 6, 8, 9, 10 и 12 являются хордами. Соответствующие сечения для рассмотренного графа показаны на рис. 1.32,в.

Вид дерева определяется порядком расположения ветвей графа при записи структурной матрицы. При изменении этого порядка можно получить другое дерево. Часто при выборе дерева графа требуется соблюсти определенную иерархию ветвей, т. е. отдать предпочтение одной группе ветвей перед другими. Для обеспечения этого требования необходимо в исходной структурной матрице упорядочить ветви в соответствии с принятой иерархией. В частном случае фундаментальное дерево может представлять собой граф, все ветви которого сходятся к одной из вершин, называемой базисной, и направлены к ней (рис. 1.33). При этом каждое сечение охватывает соответствующую вершину графа (кроме базисной) и матрица сечений П совпадает со структурной матрицей А₀, образованной из матрицы Авычеркиванием

строки, которая соответствует базисной вершине, т. е. П=А₀. Такую систему независимых сечений называют канонической [108]. Для ее определения достаточно выбрать базисную вершину и пронумеровать остальные вершины от 1 до ν.

Применяя первый закон Кирхгофа к сечениям, по аналогии с (1.81) можно его записать в обобщенной форме:

Это важное соотношение является первым топологическим уравнением графа, описывающим связи между его ветвями через условие равновесия токов в ветвях.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю. Полная система уравнений по второму закону Кирхгофа представляется матричным уравнением

Очевидно, строки матрицы Р должны соответствовать всем независимым контурам графа, а столбцы — ветвям графа, т. е. она является прямоугольной матрицей размера (σ∙l).

Выражение (1.100) является вторым важным топологическим уравнением графа, отображающим связи между его ветвями через условие равновесия напряжений на ветвях.

Если граф схемы плоский [14, 77], т. е. может быть вычерчен на поверхности без пересечения ветвей, то проще всего в качестве независимых контуров выбрать контуры, охватывающие ячейки графа — области, на которые граф разбивает занимаемую им поверхность (рис. 1.34). Каждому контуру приписывают определенное направление, например, по часовой стрелке.

Ветви графа, входящие в контур, являются инцидентными данному контуру. Матрица контуров Р, очевидно, запишется по следующему правилу: элемент матрицы ρ_ij= + 1 (или —1), если j-я ветвь графа инцидентна i-му контуру и направлена с ним согласно (или противоположно), и равен 0, если j-я ветсь не инцидента i-му контуру. Так, для графа на рис. 1.34,а

Плоский граф можно представить в виде выпуклого многогранника [107]. при этом ячейки играют роль граней, ветви — ребер, а вершины графа — вершин многогранника. Число ячеек графа на единицу меньше числа граней соответствующего многогранника, так как одна из его граней образуется внешней областью графа

Поэтому в соответствии с известным соотношением [18] для числа ячеек, а значит, и независимых контуров, получаем формулу

Для несвязного графа, состоящего из п частей, эта формула принимает вид

Система независимых контуров может быть образована совокупностью независимых комбинаций ячеек (подобно тому, как система сечений образуется совокупностью независимых комбинаций узлов). Выбирают такие комбинации с помощью дуального дерева, построенного на множестве дуальных вершин, каждая из которых соответствует ячейке графа, включая и внешнюю его область. Соответствующие построения показаны на рис. 1.34,б. Дуальное дерево обозначено штрихами. Сечения дуального дерева охватывают одну или несколько дуальных вершин. Соответственно контуры охватывают одну или несколько ячеек.

Матрицу контуров записывают для ветвей, инцидентных данному контуру (по строкам), или для контуров, инцидентных данной ветви (по столбцам). Так, для рассматриваемого примера (рис. 1.34,б)

При таком подходе к образованию контуров совокупность контуров, охватывающих ячейки (каноническая система контуров), соответствует дуальному дереву, все ветви которого идут от внешней дуальной вершины к внутренним дуальным вершинам (рис. 1.34,а). Независимую совокупность контуров можно получить также из условия, что ветви дуального дерева пересекают только по одной ветви графа схемы (рис. 1.34,в). Каждая из этих ветвей инцидентна только одному контуру и может быть поставлена ему в соответствие. В то же время с остальными ветвями каждая такая ветвь образует контур. Аналогичное соотношение имеется между хордами и ветвями дерева графа. Отсюда следует, что рассматриваемый способ образования совокупности независимых контуров по существу сводится к выбору некоторого дерева графа, причем каждый из контуров образуется соответствующей хордой и ветвями дерева (рис. 1.34,г). Такие контуры называют главными контурами. Направление и номер главного контура обычно считают совпадающими с направлением и номером соответствующей ему хорды. Число главных контуров равно числу хорд, т. е. σ=l —ν. Подставив в это соотношение значение v из (1.96) и (1.97) соответственно, получаем формулы (1.102) и (1.103).

Матрицу главных контуров записывают так же, как и в общем случае. Так, для графа, показанного на рис. 1.34,г, она имеет вид

Расположив сначала столбцы, соответствующие всем ветвям дерева, а затем остальные столбцы, матрицу главных контуров можно привести к виду

где ρ — матрица главных контуров для ветвей дерева. В рассматриваемом примере

До сих пор при выборе системы независимых контуров предполагалось, что граф плоский. Главные контуры всегда можно выбрать с помощью некоторого дерева графа и в случае, когда граф неплоский, так как построению такого дерева не препятствует наличие пересекающихся ветвей. Если целесообразно использовать более общий подход к образованию контуров неплоского графа (рис. 1.35,а), то его можно представить в виде двух подграфов: плоского, полученного удалением пересекающихся ветвей (рис. 1.35,б), и состоящего из уда-

ленных ветвей и изолированных вершин (рис. 1.35,в). Исходный граф получают, совмещая соответствующие вершины подграфов. Совокупность независимых контуров в плоском подграфе выбирают одним из изложенных способов: каждая из удаленных ветвей образует с ветвями плоского подграфа дополнительный независимый контур.

Сечения и контуры можно рассматривать как некоторую систему координат [108], относительно которой записывают топологические уравнения. Каждому сечению можно привести в соответствие напряжение ветви фундаментального дерева (узловое напряжение), а каждому контуру — ток в контуре (контурный ток). Упорядоченная совокупность напряжений ветвей фундаментального дерева образует ν-мерный вектор узловых напряжений

а упорядоченная совокупность токов в контурах образует σ-мерный вектор контурных токов

Для главных сечений и контуров U — это вектор напряжений ветвей дерева графа, а I — вектор токов ветвей дополнения (хорд).

Поскольку каждая ветвь графа образует с ветвями дерева замкнутый контур, то напряжения ветвей можно выразить по второму закону Кирхгофа через узловые напряжения. Совокупность ветвей дерева, образующих с некоторой ветвью графа контур, определяется совокупностью инцидентных данной ветви сечений. Однако последняя, в свою очередь, определяется ненулевыми элементами того столбца матрицы сечений, который соответствует данной ветви графа. Значит, произведение столбца па вектор узловых напряжений должно быть равно напряжению рассматриваемой ветви и, следовательно,

где П^t — транспонированная матрица сечений;

Если фундаментальное дерево является одновременно

и деревом графа, то все Множество ветвей можно разбить на два подмножества — ветви дерева и хорды. Соответственно и вектор напряжений ветвей можно разбить на два субвектора — вектор напряжений ветвей дерева U_T и вектор напряжений хорд U_N, т. е.

Тогда на основании (1.107) с учетом выражения (1.108) получаем

т. е. напряжения хорд выражаются через напряжения ветвей дерева с помощью матрицы главных сечении для хорд.

Ток ветви графа равен алгебраической сумме контурных токов, инцидентных данной ветви. Совокупность контуров, инцидентных данной ветви, определяется ненулевыми элементами соответствующего столбца матрицы контуров. Следовательно,

— вектор токов ветвей графа; Рt — транспонированная матрица контуров.

Если совокупность независимых контуров образована главными контурами относительно некоторого дерева графа, то вектор токов ветвей можно разбить на два субвектора — вектор токов ветвей дерева /г и вектор токов хорд I_N, т.е.

На основании (1.111) с учетом выражения (1.104) для матрицы главных контуров получаем

т. е. токи ветвей дерева выражаются через токи хорд с помощью матрицы главных контуров для ветвей дерева.

Топологические матрицы при любом способе выбора сечений и контуров, но при одинаковой нумерации ветвей данного графа связаны соотношениями

Одно из этих соотношений является следствием другого и получается транспонированием произведения матриц. Доказательство непосредственно вытекает из уравнения (1.99) и формулы (1.115):

Тем, что равенство должно соблюдаться для любых значений составляющих вектора I, подтверждается справедливость первого из соотношений (1.115). Аналогично можно доказать второе соотношение.

Из соотношения (1.115) следует важная зависимость между матрицами π и ρ. Если главные сечения и контуры образованы с помощью одного и того жедерева графа, то

Это значит, что для получения матрицы главных сечений и контуров достаточно выбрать какое-либо дерево графа схемы, записать матрицу π и по формуле (1.116) определить ρ как транспонированную π с обратным знаком, а затем дополнить матрицы π и ρ единичными субматрицами в соответствии с (1.98) и (1.104).

Например, если дерево графа рис. 1.34,г одновременно определяет совокупность главных сечений и контуров, то матрица сечений для хорд примет вид

После транспонирования этой матрицы и перемены знаков ее элементов получаем

что совпадает с матрицей главных контуров для ветвей дерева, полученной ранее (см. стр. 64).

Матрицу главных контуров Р можно получить также непосредственно из матрицы главных сечений Л для случая, когда независимые контуры определяются тем же фундаментальным деревом, что и независимые сечения, по следующим правилам.

1. В строках матрицы П удаляют все элементы, расположенные в столбцах для ветвей дерева; полученные в результате строки с l—ν=σ элементами после перемены их знаков на обратные являются столбцами матрицы Р, которые соответствуют ветвям фундаментального дерева.

2. Столбцы матрицы Р, соответствующие хордам, заполняются σ-мерными векторами с единственным нулевым элементом, равным +1; этот элемент располагают в той строке матрицы Р, которая соответствует данной хорде.

Топологические матрицы П и Р относятся к классу унимодулярных матриц, т. е. все их элементы и миноры любого порядка равны ±1 или 0. Ранг матрицы П равен числу независимых сечений v, а матрицы Р — числу независимых контуров σ. Можно показать, что любой минор v-ro порядка матрицы П отличен от нуля только тогда, когда он образован из столбцов, соответствующих ветвям дерева. Аналогично минор σ-го порядка матрицы Р отличен от нуля только тогда, когда он образован из столбцов, соответствующих дополнению. Таким образом, можно образовать совокупность всех деревьев или дополнений графа перебором миноров наибольшего порядка матриц П и Р.

Расположим ветви графа в таком порядке, чтобы сначала следовали y-ветви, а затем z-ветви. Тогда топологические матрицы можно представить через субматрицы для каждого из подмножеств ветвей:

При этом уравнения (1.99) и (1.100) будут иметь вид

Их можно объединить в одно матричное уравнение

где векторы X' и X" определяются выражениями (1.86), а матрицы Θ и Θ₁ имеют вид:

Уравнение (1.118) является топологическим уравнением графа, отображающим его структуру. Независимо от характера компонентов схемы оно всегда линейное. Матрицы Θ и Θ₁— квадратные матрицы l-го порядка с вещественными элементами, равными ±1 или 0.

Вместе с компонентным уравнением (1.88) топологическое уравнение образует полную систему уравнений графа

Эта система соответствует 2l скалярным уравнениям, причем первое уравнение отражает l компонентных уравнений ветвей графа, а второе — l уравнений равновесия относительно выбранной системы координат (независимых сечений и контуров). Матрица V и вектор F определяются параметрами и характеристиками компонентов, а матрицы Θ и Θ₁ — способом их соединения. Решив систему (1.119), можно определить векторы X' и X", т. е. токи и напряжения всех ветвей графа. В § 4.6 будут рассмотрены современные эффективные методы решения системы (1.119). При этом уравнение (1.118) будет часто использовано в ег

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: